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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 5}  : Autour de la dérivation  (1h50)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{21 novembre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


  \begin{exercice}[(3 points)]
 	La courbe $\calc$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
 	Les droites tracées sont tangentes à la courbe $\calc$.

 	\begin{center}
 		 \begin{mplibcode}
  	u:=0.8cm;
   repere(-7,9,u,-5,5,u);
% draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white;
draw quadrillage(1,1)  withcolor 0.8white dashed evenly;
draw axes(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
% path H;H=hermite((1,-3,0.5),(4,3,0),(8,-3,2))();
% draw H epaisseur 1 couleur bleu;
% draw tangente.double(H,1) couleur bleu;
% draw tangente.double(H,4) couleur bleu;
% draw tangente.double(H,8) couleur bleu;
pair A,B,C; A:=(1,3);B:=(4,-1);C:=(7,1);
pair P,Q,R; P:=(-6,2);Q:=(-3,-3);R:=(0,3);
path I;I=hermite(P,0,Q,0,,A,-1,B,0,C,2)(-7,9);
draw I epaisseur 1 couleur rouge;
% draw tangente.double(I,1) couleur rouge;
% draw tangente.double(I,4) couleur rouge;
% draw tangente.double(I,7) couleur rouge;
draw tangente(I,1) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8;
draw tangente(I,7)  couleur vert withpen pencircle scaled 0.8;

fin;
  \end{mplibcode}
 	\end{center}

 	\begin{enumerate}
 		\item Déterminer, par lecture graphique, $f'(1)$ et $f'(7)$.
 		\begin{corrige}
 		 On a par lecture graphique des coefficients directeur des droites :  $f'(1)=-1$ et $f'(7)=2$.
 		\end{corrige}


%  		\item On admet que $f'(0)=3$. Illustrer cette donnée sur la figure.
 		\item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0$. Expliquer.
 		\begin{corrige}
Le nombre dérivé $f'(x)$ est nul lorsque la tangente est horizontale, c’est-à-dire en $-6, -3, \dfrac12, 4$ (environ).
 		\end{corrige}


 		\item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$.
	\begin{corrige}

	Les variations de $f$ donne le signe de la dérivée.
	\medskip

	 \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $x^2-4x+3$ / 1}
{ $\mI$ , $-6$ ,$-3$, $\dfrac12$, $4$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,-,z,+,z,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
	\end{corrige}

 	\end{enumerate}


% 	\begin{corrige}
% 		$f(-2)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-2$ donc $f(-2)=1$.
%
% 		De même $f(3)=2$.
%
% 		$f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $-2$. $f'(-2)$ est donc le coefficient directeur de $d_1$. Ainsi $f'(-2)=-2$.
%
% 		$f'(3)$ est le coefficient directeur de $d_2$ donc $f'(3)=-3$.
% 	\end{corrige}
 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(3 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{10cm}
Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+1$. On donne le graphe ci-contre.

 Soit $A(0;-1)$
\begin{enumerate}
  \item Conjecturez le nombre de tangentes passant par $A$.
  \item Soit $a\in\R$, montrer que la tangente à $\calc_f$ au point d'abscisse $a$ satisfait :
%   \[\calt_a : y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a+1\]
  \[\calt_a : y=(2a+2)x-a^2+1\]
  \item Déduire et donner l'équation des tangentes passant par $A$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{0.3cm}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{mplibcode}
 u:=1cm;
repere(-3,3,u,-1.5,6,u);
vardef f(expr x)=x*x +2x +1 enddef;
% vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef;
 path C_fa,C_fb,C_g;
% Cf=courbefonc(f,-4,2,40);
 C_fa=courbefonc(f,-6,6,40);
%   C_fb=courbefonc(f,-1.99,4,40);
%   C_g=courbefonc(g,-6,4,40);
% draw base(O,i,j);

 draw quadrillage(.5,.5) withcolor 0.7white dashed evenly;
 draw axexn(1,1);
 draw axeyn(1,1);
 draw tangente(C_fa,1.414) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8;
 draw tangente(C_fa,-1.414) couleur bleu withpen pencircle scaled 0.8;
 marquepointcourbe(C_fa,1.414,-1.414);

% draw Cf withpen pencircle scaled 1;
% nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$"));
 draw C_fa couleur rouge withpen pencircle scaled 1;
% draw C_fb withpen pencircle scaled 1;
% draw C_g withpen pencircle scaled 1;
%  nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$"));
%  nomme(C_g);
%  MarquePoint(_c(-4,16));
%  MarquePoint(_c(2,10));
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}
\end{minipage}


\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item Par lecture graphique, on voit deux points de contact depuis $A$.

        Il existe deux tangentes.
%
  \item Pour $x\in\R$, $f'(x)=2x+2$.

        L'équation de la tangente satisfait :
        \[
          \calt_a : y=f'(a)(x-a)+f(a)
        \]
Ici, on a donc :
\[
          \calt_a : y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a+1
\]

Et donc en arrangeant :  \[\calt_a : y=(2a+2)x-a^2+1\]


  \item \begin{align*}
         A(0;-1)\in \calt_a &\ssi -a^2+1=-1\\
                          &\ssi a^2=2 \\
                           &\ssi a=\sqrt{2} \text{~~~ou~~~~} a=-\sqrt{2}
        \end{align*}
%
        Les équations des tangentes sont  alors :
%
        \[y=(2\sqrt{2}+2)x-1 \text{~~~et~~~~} y=(-2\sqrt{2}+2)x-1 \]
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\
 \begin{minipage}{10cm}
    Soit $f(x)=x^3-2x^2-3x$ définie $\R$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe.
  \item Dresser le tableau de variation de $f$. {\itshape Vous ne donnerez pas la valeur exacte des extremums locaux mais une valeur approchée à $10^{-2}$.}
  \item On a représenté $f$ sur le graphe ci-contre.
  \begin{enumerate}
   \item Déterminer l'équation de la tangente $\calt$ à $\calc$ au point d'abscisse 0 puis tracez-la.
   \item Il semble qu'il existe une autre tangente à $\calc$ parallèle à $\calt$. Déterminer son équation ainsi que son point de contact.
  \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{mplibcode}
    u:=.5cm;
repere(-4,4,1.2	u,-7,2,1u);
 draw quadrillage(1,1) withcolor 0.7white dashed evenly;
% draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
%  draw axexn(2,2) withpen pencircle scaled 1.2;
%  draw axeyn(2,2) withpen pencircle scaled 1.2;
draw axesn(2,2) withpen pencircle scaled 0.5;
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)=x**3-2*x*x-3*x enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-4,4,60);
 draw Cf couleur rouge withpen pencircle scaled 1;
 draw tangente(Cf,0) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8;
 draw tangente(Cf,1.333) couleur bleu withpen pencircle scaled 0.8;
 marquepointcourbe(Cf,0,1.333);
fin;
\end{mplibcode}
\end{minipage}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item On a pour $x\in\R$  \[f'(x)=3x^2-4x-3\].

  $f'(x)$ est une expression de degré 2, cherchons son signe :

        $\Delta=52=(2\sqrt{13})^2$, et les racines sont $x_1=\dfrac16 (4+2\sqrt{13})=\dfrac13 (2+\sqrt{13})\approx 1,87$ et $x_2=\dfrac13 (2-\sqrt{13})\approx -0,54$.

        On déduit donc le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
        \medskip
\begin{center}

    \begin{tikzpicture}
        \tkzTab[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5}
        { $\mI$ , $ \approx-0.87$, $\approx 1.54$ ,$\pI$}
       { , + , z , - , z , + }
       { -/, +/$\approx 0.88$ , -/$\approx -6.06$  , +/ }
        \end{tikzpicture}
\end{center}


  \item  Voir question précédente.

  \item \begin{enumerate}
          \item Par propriété, la tangente a pour équation : $\calt : y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

          Ici, $f(0)=0$, $f'(0)=-3$.

          Donc \[\calt: y=-3x\].

          \item On cherche une tangente parallèle à $\calt$, soit $a$ l'abscisse du point de contact et $\calt_a$ cette nouvelle tangente. On a :
          \begin{align*}
           \text{$\calt_a$ parallèle à $\calt$} &\ssi  \text{$\calt_a$ et $\calt$ ont même coefficient directeur} \\
                                                &\ssi f'(a)=-3\\
                                                 &\ssi 3a^2-4a-3=-3\\
                                                  &\ssi 3a^2-4a=0\\
                                                  &\ssi a(3a-4)=0\\
                                                  &\ssi \text{$a=0$ ou $a=\dfrac{4}{3}$}
          \end{align*}

          $a=0$ correspond à $\calt$ et $a=\dfrac{4}{3}$ correspond à la nouvelle tangente.

          Son équation est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Avec $a=\dfrac{4}{3}$, $f'(a)=-3$ et

          $f(a)=(\dfrac{4}{3})^3-2(\dfrac{4}{3})^2-3\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{27}(64-32.3-4.27)=-\dfrac{140}{27}$.

          Alors $y=-3(x-\dfrac{4}{3}) -\dfrac{140}{27}$ ce qui nous donne :

          \[
           \calt_{\frac{4}{3}} : y=-3x-\dfrac{32}{27}
          \]
On peut observer que ceci est cohérent avec le dessin.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

\newpage

 \begin{exercice}[(4 points)]
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $D=]0 ; +\infty [$ par :

\[f(x)=x+\dfrac{2}{x}\]

On admet que $f$ est dérivable sur $D$.


\begin{enumerate}
 \item Après avoir calculer la dérivée de $f$, dresser le tableau de variations de $f$ sur $D$.
  \item Donner l'équation de la tangente  $\calt$ en $x=1$.
  \item Résoudre $f(x)=2x$.
   \item Représenter la tangente $\calt$, calculer $f(3), f(4)$ et compléter le graphe de  $f$ dans le repère suivant.
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item Pour $x>0$, on a $f'(x)=1-\dfrac{2}{x^2}$.
  On cherche le signe de $f'(x)$ et pour cela on résout :

  \begin{align*}
   f'(x)>0 &\ssi 1-\dfrac{2}{x^2}>0\\
          &\ssi \dfrac{2}{x^2}<1\\
          &\ssi \dfrac{x^2}{2}<1 ~~~~~~~\text{(Par application de la fonction inverse qui décroissante sur $D$)}\\
          &\ssi x^2<2\\
          &\ssi x\in]-\sqrt{2};\sqrt{2}[  ~~~~~~~\text{(La fonction carré est une fonction de référence)}
  \end{align*}

On déduit alors le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
\bigskip
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5}{$0$,$\sqrt{2}$,$+\infty$}
        \tkzTabLine{d , - , z , + }
        \tkzTabVar{ D+ / , -/$2\sqrt{2}$ , +/ }
        \end{tikzpicture}
\end{center}

On a calculé ici $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$.

  \item Par propriété, la tangente a pour équation : $ y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

  Ici, $f(1)=3$ et $f'(1)=-1$ donc $\calt : y=-(x-1)+3$.

   \[
    \calt : y=-x+4
   \]

  \item \begin{align*}
         x+\dfrac{2}{x}=2x &\ssi x^2=2 \\
                          &\ssi \text{$x=\sqrt{2}$ ou  $x=-\sqrt{2}$ (refusée car $x>0$)}.
        \end{align*}

  \item $f(3)=\dfrac{11}{3}\approx 3,6666$ ; $f(4)=4,5$ et ceci permet de compléter le graphe.
\end{enumerate}

\begin{center}

\begin{mplibcode}
 u:=0.5cm;
repere(-0.5,10 ,1u,-1,7,u);
vardef f(expr x)=x+2/x enddef;
% vardef g(expr x)=0-x**2-x+3 enddef;
path Cf,Cg;
 Cf=courbefonc(f,0.01,10,100);
 Cg=courbefonc(f,6,10,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
draw Cg withpen pencircle scaled 1  withcolor red;
 draw tangente(Cf,1) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8;
% nomme(Cf);
% nomme(Cg);
% draw cadre withpen pencircle scaled 1;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\begin{remarque}
 Pour avoir le signe de $f'(x)$, on peut aussi constater que $f'(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2}$ et faire un tableau de signe.
\end{remarque}

\end{corrige}
\end{exercice}





\begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\
\begin{minipage}{13cm}
 Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3-3x^2+9x+27$.
\begin{enumerate}
\item  Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation (on ne demande pas les limites).
\item  Soient $\calp$ la parabole d'équation $y=9-x^2$ dont une représentation est donnée ci-contre.

On note $A(-3;0), B(3;0)$ et pour $x \in ]0,3[$ on note $M$ et $N$ les points de $\calp$
  d'abscisses respectives $x$ et $-x$. On considère le trapèze $ABMN$.
\begin{enumerate}
\item  Complétez la figure avec $x=2$.
\item  {\it Rappel : Aire du trapèze = $\ds\frac{\text{(petite base +
  grande base)}\times\text{hauteur}}{2}$}.

  Désormais $x\in ]0,3[$, déterminer l'expression de l'aire $\cala(x)$ du trapèze $ABMN$ en fonction de $x$.
\item  Déduire des questions précédentes la valeur de $x$
  pour laquelle cette aire est maximale. Quelle est alors cette aire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
  \begin{mplibcode}
   u:=.5cm;
repere(-4,4,1.2	u,-1,10,1u);
 draw quadrillage(1,1) withcolor 0.7white dashed evenly;
% draw axesn(1,1);  % ne met pas le 0 à l'origine
draw axesn(2,2) withpen pencircle scaled 0.5;
%  draw cadre withpen pencircle scaled 2;
 vardef f(expr x)=9-x*x enddef;
 path Cf;
 Cf=courbefonc(f,-4,4,60);
 draw Cf couleur rouge withpen pencircle scaled 1;
 draw (-3,0)--(-2,5)--(2,5)--(3,0)--(-3,0) withcolor blue withpen pencircle scaled 1.5;
fin;
  \end{mplibcode}
\end{minipage}



\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item Pour $x\in\R$ :
  \begin{align*}
 f'(x)&=-3x^2-6x+9  \\
      &=-3(x^2+2x-3) \\
      &=  -3(x+3)(x-1) ~~~~~~~~\text{(car 1 est racine évidente)}
  \end{align*}
   On déduit donc le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.

   \begin{center}
    \begin{tikzpicture}
        \tkzTab[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5}
        {$\mI$ ,$-3$,$1$,$\pI$ }
       { , - , z , + , z , - }
        { +/ , -/$0$ , +/$32$ , -/ }
        \tkzTabVal{2}{3}{0.5}{0}{27}
        \tkzTabVal{3}{4}{0.5}{3}{0}
        \end{tikzpicture}
   \end{center}


Où on a calculé : $f(-3)=0$ et $f(1)=33$.

  \item La longueur des bases du trapèze sont donc $L=6$ et $\ell=2x$, la hauteur est $9-x^2$ (le trapèze est dans la parabole). On a alors :

  \begin{align*}
   \mathcal{A}(x)&=\dfrac{(6+2x)(9-x^2)}{2}\\
                  &=27+9x-3x^2-x^3\\
                  &=f(x)
  \end{align*}



  \item Alors sachant que $x\in[0;3]$, on observe à l'aide du tableau de variation de $f$ que l'aire est minimale pour $x=3$ et maximale pour $x=1$. Elle vaut alors $32 u.a.$
\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{exercice}
%
% \begin{exercice}%[(7 points)]
% On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par : \[ f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+1} \]
% On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
%
% On considère un point $M$ d'abscisse $x$ appartenant à la courbe $\calc_f$  et on construit comme l'indique la figure ci-dessous un rectangle de sommets $O$ et $M$ et dont les côtés sont parallèles aux axes.
% \begin{center}
% \begin{mplibcode}
% % beginfig(1);
% repere.orth(-0.5,4,7cm,-0.5,1.5);
% vardef f(expr x) = 1/((x**2)-x+1) enddef;
% settout(0,4,0,1.5);
% pair M;
% numeric t;
% t=1.4;
% M=_c(t,f(t));
% nomme.urt(M);
% fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair;
% draw quadrillage(1,1);
% draw axes(1,1);
% path C;
% C=courbefonc(f,0,4,60);
% draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu;
% nomme.urt(C,3.2,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu;
% draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet;
% fin;
% % endfig;
% \end{mplibcode}
% \end{center}
% On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle en fonction de $x$.
% \begin{enumerate}
% \item Donner l’expression de la fonction $A$.
% \item Étudier les variations de $A$.
% \item Déterminer la position du point $M$ afin que l'aire du rectangle soit maximale.
% \end{enumerate}
% \end{exercice}



\end{document}
