\documentclass[11pt]{article}
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\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=2cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 2}  : Degré 2 (le retour) (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{8 octobre 2026}}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}[(5 points)]$\ $\\
 \begin{minipage}{10cm}
  On donne les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par
  \[f(x)=x^2-4x+1 \text{~et~} g(x)=-2x^2-6x+2\]

  La courbe représentative de $g$ est la courbe tracée sur le graphique ci-contre.
  \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
        \item Représentez la courbe $\calc_f$ de $f$ sur le graphique.
        \end{enumerate}
        \item
    \begin{enumerate}
     \item Etudier la position relative de $\calc_f$ et $\calc_g$
     \item On note $A$ et $B$ les points d'intersection de $\calc_f$ et $\calc_g$. Précisez leur coordonnées.
     \item Ces résultats sont-ils cohérents avec le graphique ?
     \item {\bf (bonus) } Déterminer la longueur $AB$.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
 \end{minipage}
 \hspace{0.5cm}
 \begin{minipage}{10cm}
  \begin{mplibcode}
   u:=0.8cm;
repere(-4,5 ,1u,-4,8,1u);
vardef f(expr x)=(x**2)-4*x+1 enddef;
vardef g(expr x)=0-2*(x**2)-6*x+2 enddef;
path Cf,Cg;
Cf=courbefonc(f,-4,5,100);
Cg=courbefonc(g,-4,5,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.5 white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor blue;
draw Cg withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
nomme(Cf) withcolor blue;
nomme(Cg) withcolor red;
% draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
  \end{mplibcode}
 \end{minipage}

\begin{corrige}
 \begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
         \item $f$ est une fonction polynôme du second degré avec $a=1>0$, donc $\calc_f$ est une parabole tournée vers le haut.

         Le sommet $S(\alpha;\beta)$ vérifie :
         \[
         \alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2
         \qquad\text{et}\qquad
         \beta=f(2)=2^2-4\cdot 2+1=-3.
         \]
         On peut alors dresser le tableau de variations :
\begin{center}
   \begin{tikzpicture}
         \tkzTabInit[lgt=1,espcl=2]{ $x$ / 1,$f$ / 2}{ $\mI$ , $2$ ,$\pI$}
         \tkzTabVar{ +/ , -/$-3$ , +/ }%
         \end{tikzpicture}
\end{center}



        \item R.A.S. (voir le graphique : $\calc_f$ est la parabole tournée vers le haut, de sommet $S(2;-3)$ et passant par exemple par $(0;1)$ et $(4;1)$).
        \end{enumerate}

        \item \begin{enumerate}
     \item La position relative de $\calc_f$ et $\calc_g$ est donnée par le signe de la différence :
     \begin{align*}
      d(x)&=f(x)-g(x)\\
          &=x^2-4x+1-(-2x^2-6x+2)\\
          &=3x^2+2x-1
     \end{align*}

     On a $\Delta=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16$, donc $d$ admet deux racines :
     \[
     x_1=\dfrac{-2-4}{6}=-1
     \qquad\text{et}\qquad
     x_2=\dfrac{-2+4}{6}=\dfrac{1}{3}.
     \]

     Comme $a=3>0$, on peut dresser le tableau de signes de $d$ :
\begin{center}
     \begin{tikzpicture}
     \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1]
     { $x$ / 1, $d(x)$ / 1}{ $\mI$ , $-1$ ,$\dfrac13$, $\pI$}
     \tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
     \end{tikzpicture}
\end{center}



     Et on peut donc conclure que :
     \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
      \item Sur $]\mI;-1[\cup]\dfrac13;\pI[$, la courbe $\calc_f$ est au-dessus de $\calc_g$.
      \item Sur $]-1;\dfrac13[$, la courbe $\calc_f$ est au-dessous de $\calc_g$.
     \end{enumerate}

     \item Les points d'intersection vérifient $f(x)=g(x)$, c'est-à-dire $d(x)=0$, donc $x=-1$ ou $x=\dfrac13$.

     \[
     f(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)+1=6
     \]
     \[
     f\!\left(\dfrac13\right)=\left(\dfrac13\right)^2-4\cdot\dfrac13+1=\dfrac19-\dfrac43+1=-\dfrac{2}{9}
     \]

     Ainsi
     \[
     \boxed{A(-1;6)\quad\text{et}\quad B\!\left(\dfrac13;-\dfrac{2}{9}\right)}
     \]

     \item Ces résultats sont cohérents avec le graphique : les deux paraboles se coupent bien en deux points, l'un à gauche de l'axe des ordonnées et assez haut ($A(-1;6)$), l'autre juste à droite de l'origine et légèrement sous l'axe des abscisses ($B(\frac13;-\frac29)$).

     \item {\bf (bonus)} On a :

     \[
     \vectab\cp{\dfrac13-(-1)}{-\dfrac{2}{9}-6} \text{~~~donc~~~}  \vectab\cp{\dfrac43}{-\dfrac{56}{9}}
     \]

     donc
     \begin{align*}
      AB^2&=\left(\dfrac43\right)^2+\left(-\dfrac{56}{9}\right)^2\\
          &=\dfrac{16}{9}+\dfrac{3136}{81}\\
          &=\dfrac{144}{81}+\dfrac{3136}{81}\\
          &=\dfrac{3280}{81}
     \end{align*}
     Donc
     \[
     \boxed{AB=\dfrac{\sqrt{3280}}{9}=\dfrac{4\sqrt{205}}{9}\approx 6{,}36}
     \]
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}
\begin{exercice}[(5 points)]
 Résoudre les équations et inéquations suivantes :
 \begin{enumerate}[labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect (E_{\arabic*}) : \ $},
                 itemsep=1cm]
\item $\dfrac{2x^2-4x-2}{x+1}\leq 1$

\begin{corrige}
 \begin{align*}
(E_1) &\ssi \dfrac{2x^2-4x-2}{x+1}-1\leq 0\\
      &\ssi \dfrac{2x^2-4x-2-(x+1)}{x+1}\leq 0\\
      &\ssi \dfrac{2x^2-5x-3}{x+1}\leq 0
\end{align*}

Notons $N(x)=2x^2-5x-3$ le numérateur et étudions son signe :

On a $\Delta=(-5)^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$, donc $N$ admet deux racines :
\[
x_1=\dfrac{5-7}{4}=-\dfrac{1}{2}
\qquad\text{et}\qquad
x_2=\dfrac{5+7}{4}=3.
\]

Comme $a=2>0$, on peut dresser le tableau de signes :

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]
{$x$ /1,
 $N(x)$ /1,
 $x+1$ /1,
 $\dfrac{2x^2-5x-3}{x+1}$ /1.5 }%
{$-\infty$,$-1$,$-\frac{1}{2}$,$3$,$+\infty$}%
\tkzTabLine { ,+,t,+,z,-,z,+ }
\tkzTabLine { ,-,z,+,t,+,t,+ }
\tkzTabLine { ,-,d,+,z,-,z,+ }
\end{tikzpicture}
\end{center}


Et donc on a :
\[
\boxed{\cals= ]-\infty,-1[\cup\left[-\dfrac{1}{2};3\right]}
\]
\end{corrige}

\item $x-5\sqrt{x}-36=0$      {(vous pouvez poser $X=\sqrt{x})$}

\begin{corrige}
 On pose $X=\sqrt{x}$ avec $X\geq 0$, donc $x=X^2$. L'équation devient :
 \[
 X^2-5X-36=0.
 \]
 On a $\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-36)=25+144=169$, donc :
 \[
 X=\dfrac{5+13}{2}=9
 \qquad\text{ou}\qquad
 X=\dfrac{5-13}{2}=-4.
 \]

 Donc

 \begin{align*}
 (E) &\ssi \sqrt{x}=9 \text{~ou~} \sqrt{x}=-4 \text{~~~~(impossible)}\\
      &\ssi x=81
 \end{align*}


 \[
 \boxed{\cals=\{81\}}
 \]
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(5 points)]
 Soit $P$ le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par : $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$.

\begin{enumerate}[label=\arabic*.]
    \item Montrer que $2$ est une racine de $P$.
    \item Déterminer alors les réels $a$, $b$ et $c$ tels que $P(x) = (x-2)(ax^2 + bx + c)$.
    \item En déduire les solutions de l'équation $P(x) = 0$.
\end{enumerate}

\begin{corrige}
 \begin{enumerate}
  \item On calcule :
  \[
  P(2)=2\cdot 2^3-5\cdot 2^2+2+2=16-20+4=0.
  \]
  Donc $2$ est bien une racine de $P$.

  \item On développe :
  \[
  (x-2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c.
  \]
  Par identification avec $P(x)=2x^3-5x^2+x+2$, on obtient le système :
  \[
  \begin{cases}
  a=2\\
  b-2a=-5\\
  c-2b=1\\
  -2c=2
  \end{cases}
  \iff
  \begin{cases}
  a=2\\
  b=-5+2a=-5+4=-1\\
  c=1+2b=1-2=-1\\
  c=-1
  \end{cases}
  \]

  Ainsi
  \[
  \boxed{a=2,\quad b=-1,\quad c=-1}
  \]
  et donc
  \[
  P(x)=(x-2)(2x^2-x-1).
  \]

  \item On résout $P(x)=0$, c'est-à-dire $(x-2)(2x^2-x-1)=0$.

  \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
   \item $x-2=0 \ssi x=2$.
   \item $2x^2-x-1=0$ : on a $\Delta=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$, donc
   \[
   x=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac12
   \qquad\text{ou}\qquad
   x=\dfrac{1+3}{4}=1.
   \]
  \end{enumerate}

  Finalement
  \[
  \boxed{\cals=\left\{-\dfrac12;1;2\right\}}
  \]
 \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}

% \begin{exercice}[(4 points)]
%  Soit $m\in\R$. On considère l'équation $(E_m) : x^2-mx+m-3=0$.
%
%  Déterminer les valeurs de $m$ pour que $(E_m)$ ait deux solutions.
%
% \begin{corrige}
%  $(E_m)$ est une équation du second degré (le coefficient de $x^2$ est $1$, jamais nul). Elle admet deux solutions distinctes si et seulement si son discriminant est strictement positif.
%
%  \[
%  \Delta=(-m)^2-4\cdot 1\cdot(m-3)=m^2-4m+12.
%  \]
%
%  On étudie le signe de $m^2-4m+12$ : c'est un trinôme en $m$ avec $a=1>0$ et
%  \[
%  \Delta_m=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 12=16-48=-32<0.
%  \]
%  Comme $\Delta_m<0$ et $a>0$, on a $m^2-4m+12>0$ pour tout $m\in\R$.
%
%  On peut aussi remarquer que
%  \[
%  m^2-4m+12=(m-2)^2+8>0.
%  \]
%
%  \textbf{Conclusion :} $\Delta>0$ pour tout $m\in\R$. Donc $(E_m)$ admet deux solutions distinctes pour tout $m\in\R$.
%  \[
%  \boxed{\cals=\R}
%  \]
% \end{corrige}
% \end{exercice}
%

\begin{exercice}[(5 points)]
 Soit $m\in\R$. On considère l'équation $(E_m) : x^2-mx+3-m=0$.

 On souhaite déterminer les valeurs de $m$ pour que $(E_m)$ ait deux solutions.

 \begin{enumerate}
  \item Déterminer le discriminant $\Delta_m$ de cette équation.
  \item Faire le tableau de signe de $\Delta_m$ en fonction de $m$
  \item Conclure.
 \end{enumerate}

\begin{corrige}
 \begin{enumerate}
  \item $(E_m)$ est une équation du second degré avec $a=1$, $b=-m$ et $c=3-m$. Son discriminant est :
  \begin{align*}
   \Delta_m&=b^2-4ac\\
           &=(-m)^2-4\cdot 1\cdot(3-m)\\
           &=m^2-12+4m\\
           &=m^2+4m-12.
  \end{align*}

  \item $\Delta_m=m^2+4m-12$ est un trinôme en $m$ avec $a=1>0$. On calcule son discriminant :
  \[
  \Delta'=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=16+48=64.
  \]
  Comme $\Delta'>0$, le trinôme admet deux racines :
  \[
  m_1=\dfrac{-4-8}{2}=-6
  \qquad\text{et}\qquad
  m_2=\dfrac{-4+8}{2}=2.
  \]

  Comme $a=1>0$, on peut dresser le tableau de signes de $\Delta_m$ :
\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2]
  { $m$ / 1, $\Delta_m$ / 1}{ $\mI$ , $-6$ ,$2$, $\pI$}
  \tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
  \end{tikzpicture}
\end{center}



  \item $(E_m)$ admet deux solutions distinctes si et seulement si  $\Delta_m>0$, c'est-à-dire $m\in ]-\infty;-6[\;\cup\;]2;+\infty[$

 \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}
\end{document}