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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 6}  : Continuité (1h45)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 24 novembre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(17 points)]
% Inspiré de Inde avril 2003

\begin{minipage}{13cm}
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = x^2 \e^{x - 1} - \cfrac{x^2}{2}. \]

\noindent Le graphique ci-contre est la courbe représentative de
cette fonction telle que l'affiche une calculatrice dans un repère
orthonormal.

 A l'observation de cette courbe, on conjecture que $f$ est croissante sur $[-3;2]$.

 Le but de cet exercice est de vérifier ou d'infirmer cette conjecture.

\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{5cm} \psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
\psline(-2.25,0)(2.25,0) \psline(0,-1.5)(0,1.5)
\psframe(-2.25,-1.5)(2.25,1.5)
\psplot[plotpoints=200]{-1.843}{1.313}{x dup mul 2.71828 x 1 sub exp mul x  dup mul 2 div sub}
\psline(-2,0)(-2,0.2) \psline(-1,0)(-1,0.2) \psline(1,0)(1,0.2) \psline(2,0)(2,0.2) \end{pspicture}
\end{minipage}


\bigskip



\noindent \textbf{Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire}

On introduit une fonction  $g$ définie sur $\R$ par  :
\[
g(x) = (x + 2)\e^{x - 1} - 1.
\]

% \begin{enumerate}
%
% \item Etude du signe de $g(x)$ pour $x$ réel.

\begin{enumerate} \item Calculer les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers $\pI$, puis quand $x$ tend vers $\mI$.

\begin{corrige}
 \textbf{Limite en $+\infty$ :}
\[
\limite{x}{\pI} (x+2) = +\infty \quad \text{et} \quad \limite{x}{\pI} \e^{x-1} = +\infty
\]
Donc par produit : $\limite{x}{\pI} g(x) = +\infty$.

\textbf{Limite en $-\infty$ :}

En développant, on a pour $x\in\R$ :
\[
 g(x)=x\e^x\e{-1}+2\e^{x-1}-1
\]

Par croissance comparée  $\limite{x}{\mI} x\e^{x} = 0$.

On a $\limite{x}{\mI} \e^{x-1} = 0$.

Alors par somme, $\limite{x}{\mI} g(x) = -1$.
\end{corrige}

\item Calculer la dérivée $g'$ de $g$ et montrer que pour $x\in\R$ :
\[
 g'(x)=(x+3)\e^{x-1}
\]

\begin{corrige}
Pour $x \in \R$, on a :
\begin{align*}
g'(x) &= 1 \times \e^{x-1} + (x+2) \times \e^{x-1} \\
&= \e^{x-1}(1 + x + 2) \\
&= (x + 3)\e^{x-1}
\end{align*}
\end{corrige}


\item En déduire le tableau de variations de $g$.

\begin{corrige}
On a $g'(x) = (x+3)\e^{x-1}$.

Comme $\e^{x-1} > 0$ pour tout $x \in \R$, le signe de $g'(x)$ est celui de $(x+3)$ qui est une fonction affine.

On déduit le tableau de variations de $g$:
\medskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=2,espcl=3]{ $x$ / 1, $g'(x)$ / 1, $g$ / 2}
{ $\mI$ , $-3$ ,$\pI$}
{ ,-,z,+,}
{ +/ $-1$ , -/$-\e^{-4} - 1$ , +/ $\pI$ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}

\medskip

Ici, on a calculé $g(-3)$ : $g(-3) = (-3+2)\e^{-3-1} - 1 = (-1)\e^{-4} - 1 = -\e^{-4} - 1 < 0$
\end{corrige}


\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique
solution dans $\R$ notée $\alpha$ et donner un encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$.

\begin{corrige}
Sur $]\mI; -3]$ : $g(x)\leq -1$ d'après le tableau de variations, donc $g(x)=0$ n'a pas de solution.

Sur $[-3; +\infty[$ :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $g$ est continue (comme somme et produit de fonctions dérivables donc continues)
\item $g$ est strictement croissante.
\item $g(-3) = -\e^{-4} - 1 \approx -1,02 < 0$; $\limite{x}{\pI}g(x)=\pI$ et $0\in [-\e^{-4} - 1;\pI[$.
\end{enumerate}
Alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$
admet une unique solution $\alpha \in ]-3; +\infty[$.

D'après la calculatrice :  $0,20 < \alpha < 0,21$
\end{corrige}


\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.

\begin{corrige}
 D'après le tableau de variations de $g$, on déduit le tableau de signes de $g$ :

\medskip

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
{ $x$ / 1, $g(x)$ / 1}
{ $\mI$  ,$\alpha$, $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corrige}

\item Pour $p\in \N$, on souhaite écrire un script en Python qui renvoie un encadrement de $\alpha$ avec une précision de $10^{-p}$. Compléter le script suivant.

% \begin{lstlisting}[language=python]
% def g(x):
%    return (x+2)*exp(x-1)-1
%
% def script(p):
%   h=10**(-p)
%   a=0
%
%   while ........... :
% 	 a=a+h
%   print(a,a+h)
% \end{lstlisting}

 \end{enumerate}

 \begin{corrige}
  La ligne 8 doit être :
  \texttt{while g(a)g(a+h)>0 : }
 \end{corrige}

 \medskip
%  \newpage
\noindent \textbf{Partie B : Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.}


\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$, et montrer en particulier que $f'(x)=xg(x)$.

\begin{corrige}
Pour $x \in \R$ :
\begin{align*}
f'(x) &= 2x\e^{x-1} + x^2\e^{x-1} - x \\
&= x\e^{x-1}(2 + x) - x \\
&= x[(x+2)\e^{x-1} - 1] \\
&= x \cdot g(x)
\end{align*}
\end{corrige}


% \item Etudier, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f'(x)$.

\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$.

\begin{corrige}
Le signe de $f'(x) = x \cdot g(x)$ est donné par le produit des signes de $x$ (affine) et de $g(x)$ (etudié au dessus).

On a donc le tableau de signe et de variations suivant :

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $x$ / 1, $g(x)$ / 1, $f'(x)$ / 1 , $f$ / 2}
{ $\mI$ , $0$ , $\alpha$ , $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+,t,+, }
\tkzTabLine{ ,-,t,-,z,+, }
\tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
\tkzTabVar{ -/ , +/$0$, -/ $f(\alpha)$, +/ }%
\end{tikzpicture}

\end{corrige}

\item Que pensez-vous de la conjecture ?

\begin{corrige}
 D'après le tableau de variations, $f$ n'est pas strictement croissante sur $\R$.
\end{corrige}

\end{enumerate}

% \end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie C : Encadrement de $f(\alpha)$ }



\begin{enumerate} \item Montrer que $f(\alpha) = \cfrac{-\alpha ^3}{2(\alpha + 2)}$.

\begin{corrige}
On sait par définition de $\alpha$ que $g(\alpha) = 0$,  donc $(\alpha + 2)\e^{\alpha - 1} - 1 = 0$, et donc en isolant $\e^{\alpha - 1}$, on a :


\[\e^{\alpha - 1} = \dfrac{1}{\alpha + 2}\]

Alors :
\begin{align*}
f(\alpha) &= \alpha^2\e^{\alpha - 1} - \dfrac{\alpha^2}{2} \\
&= \alpha^2 \cdot \dfrac{1}{\alpha + 2} - \dfrac{\alpha^2}{2} \\
&= \dfrac{\alpha^2}{\alpha + 2} - \dfrac{\alpha^2}{2} \\
&= \dfrac{2\alpha^2 - \alpha^2(\alpha + 2)}{2(\alpha + 2)} \\
&= \dfrac{2\alpha^2 - \alpha^3 - 2\alpha^2}{2(\alpha + 2)} \\
&= \dfrac{-\alpha^3}{2(\alpha + 2)}
\end{align*}
\end{corrige}

\item On considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0 ; 1]$ par $h(x) = \cfrac{- x^3}{2(x + 2)}$.

\begin{enumerate} \item Calculer $h'(x)$ pour $x$ élément de $[0 ; 1]$, puis donner le tableau de variation de $h$ sur $[0 ; 1]$.

\begin{corrige}
Pour $x \in [0;1]$ :
\begin{align*}
h'(x) &= \dfrac{-3x^2 \cdot 2(x+2) - (-x^3) \cdot 2}{[2(x+2)]^2} \\
&= \dfrac{-6x^2(x+2) + 2x^3}{4(x+2)^2} \\
&= \dfrac{-6x^3 - 12x^2 + 2x^3}{4(x+2)^2} \\
&= \dfrac{-4x^3 - 12x^2}{4(x+2)^2} \\
&= \dfrac{-4x^2(x + 3)}{4(x+2)^2} \\
&= \dfrac{-x^2(x + 3)}{(x+2)^2}
\end{align*}

Sur $[0;1]$, on a

\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $-x^2 \leq 0$\\
 \item $(x+3) > 0$\\
 \item $(x+2)^2 > 0$
\end{enumerate}
 donc par produit $h'(x) \leq 0$ et  donc $h$ est décroissante sur $[0;1]$.

\end{corrige}
\item En déduire un encadrement de $f(\alpha)$.

\begin{corrige}

On observe que $h(\alpha)=f(\alpha)$, et d'après la partie A, on sait que :
 \[
0,2\leq \alpha\leq 0,21
 \]
En conséquence par application de la fonction $h$ qui est décroissante sur $[0;1]$ on a

 \[
h(0,2) \geq h(\alpha) \geq h(0,21)
 \]

 Ce qui nous donne donc :

  \[
h(0,21) \leq f(\alpha) \leq h(0,20)
 \]

 avec

 $h(0,2)=-\dfrac{1}{550}\approx -0,0018181818...$

 et

 $h(0,21)=-\dfrac{9261}{4420000}\approx -0,0020952488$

 Alors

   \[
-0,0021 \leq f(\alpha) \leq 0,0018
 \]

 \end{corrige}

\end{enumerate}



% \item \begin{enumerate} \item Déterminer les abscisses des points
% d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe $(x'x)$.
%
% \item Préciser alors la position de la courbe $\mathcal{C}$ par
% rapport à l'axe des abscisses.
%
% \item Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?
%
% \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(3 points)]
 Soit $f$ définie sur $\R$ par :
 \[
f(x) = x\e^{−x} + 2x − 1.
 \]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
On note $f′$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$,
c’est-à-dire la fonction dérivée de la fonction $f'$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour $x\in\R$,
 \[
f''(x) = (x − 2)\e^{−x}
 \]

 \begin{corrige}
On calcule d'abord $f'(x)$ pour $x\in\R$ :
\begin{align*}
f'(x) &= \e^{-x} + x(-\e^{-x}) + 2 \\
&= \e^{-x} - x\e^{-x} + 2 \\
&= (1 - x)\e^{-x} + 2
\end{align*}

Puis $f''(x)$ :
\begin{align*}
f''(x) &= -\e^{-x} - [(1 - x)(-\e^{-x}) + \e^{-x}] \\
&= -\e^{-x} + (1 - x)\e^{-x} - \e^{-x} \\
&= (-1 + 1 - x - 1)\e^{-x} \\
&= (x - 2)\e^{-x}
\end{align*}
\end{corrige}
\item Etudier la convexité de la fonction $f$.

\begin{corrige}
On a $f''(x) = (x - 2)\e^{-x}$.

Comme $\e^{-x} > 0$ pour tout $x \in \R$, le signe de $f''(x)$ est celui de $(x - 2)$ qui est affine.

On a donc le tableau de convexité suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $f''(x)$ / 1, Convexité de $f$ / 2}
{ $\mI$ , $2$ , $\pI$}
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }
\tkzTabLine{ , concave,t, convexe, }
\end{tikzpicture}
\end{center}



Donc :
\begin{itemize}
\item $f$ est concave sur $]-\infty; 2]$
\item $f$ est convexe sur $[2; +\infty[$
\end{itemize}
\end{corrige}


\item  Préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe $\calc_f$.
\begin{corrige}
La dérivée seconde s'annule et change de signe en $x = 2$, donc la courbe $\calc_f$ admet un point d'inflexion en $x = 2$.

Calcul de $f(2)$ :
\begin{align*}
f(2) &= 2\e^{-2} + 4 - 1 \\
&= 2\e^{-2} + 3
\end{align*}

Coordonnées du point d'inflexion : $\boxed{I\left(2; 3 + \dfrac{2}{\e^2}\right)}$
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exerciced}
 On considère $f$ définie et continue sur $\R$ telle que pour tout $x\in\R$ :

 \[
f^2(x)+f(x)=6
 \]

 Montrer que $f$ est une fonction constante.

 \begin{corrige}
  On a pour tout $x\in\R$ :

   \[
f^2(x)+f(x)-6=0
 \]

 donc
   \[
(f(x)-2)(f(x)+3)=0
 \]

 et donc $f(x)=2$ ou $f(x)=-3$

 Par l'absurde : si $f$ n'est pas constante et ne vaut pas identiquement $2$ ou $-3$, alors il existe $a\neq b$ tel que $f(a)=2$ et $f(b)=-3$. $f$ étant continue, il devrait exister d'après le théorème des valeurs intermédiaire un réel $c$ tel que $f(c)=0$. Ceci est impossible !!!

 Donc $f$ est constante égale à $2$ ou $-3$.
 \end{corrige}

\end{exerciced}


\end{document}



