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%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\makeatletter
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               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
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\makeatother
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill 
$\bullet$ \quad #2 \hfill 
$\bullet$ \quad #3 }
\newcommand{\QCMc}[4]{   #1 \\ 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill 
\makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher%
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\ds}[3]{
	\begin{center}
		\begin{LARGE}
			\textbf{\textsc{Devoir Surveillé de Mathématiques n°#1}}\\
		\end{LARGE}
		    \vspace*{0.3cm}
		 	\textit{#2}\hfill\textit{#3}
	\end{center}
	\hrule}
	
\newcounter{numeroexo}
\newcommand{\exercice}{\par\noindent\stepcounter{numeroexo}
	\underline{{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo} :}}}\quad}

\begin{document}
	\ds{5}{le 11 avril 2014 - 1h30}{Spé TES}
\hrule 
\vspace*{0.5cm}

\exercice \emph{(12 points)} 

\medskip 

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip
 
Deux sociétés, Ultra-eau (U) et Vital-eau (V), se partagent le marché des fontaines d'eau à bonbonnes dans les entreprises d'une grande ville.

\medskip
 
\textbf{\underline{Partie A}}

\medskip
 
En 2013, l'entreprise U avait 45\,\% du marché et l'entreprise V le reste. 
Chaque année, l'entreprise U conserve 90\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise V. Quant à l'entreprise V, elle conserve 85\,\% de ses clients, les autres choisissent l'entreprise U.
 
On choisit un client au hasard tous les ans et on note pour tout entier naturel $n$ : 

\begin{description}
\item[ ] $u_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise U l'année $2013 + n$, ainsi 

$u_{0} = 0,45$ ;
\item[ ] $v_{n}$ la probabilité qu'il soit un client de l'entreprise V l'année $2013 + n$.
\end{description}

\medskip

On note $P_{n}=\left(u_{n} \; \; v_{n}\right)$ la matrice correspondant à l'état probabiliste en $2013 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets U et V. 
\item Donner $v_{0}$, calculer $u_{1}$ et $v_{1}$ puis interpréter ces deux résultats. 
\item On considère l'algorithme (incomplet) donné ci-dessous. Celui-ci doit donner en sortie les valeurs de $u_{n}$ et $v_{n}$ pour un entier naturel $n$ saisi en entrée.  

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|l X |c|}\hline
\textbf{Variables :}&$N$ est un nombre entier naturel non nul&L1\\
&$U$ et $V$ sont des nombres réels&L2\\
\textbf{Traitement :}&Saisir une valeur pour $N$&L3\\
&Affecter à $U$ la valeur 0,45&L4\\
&Affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots&L5\\
&Pour $i$ allant de 1 jusqu'à $N$&L6\\
&\hspace{0,2cm}| affecter à $U$ la valeur $0,9 \times U + 0,15 \times V$&L7\\
&\hspace{0,2cm}| affecter à $V$ la valeur \ldots\ldots&L8\\
&Fin Pour&L9\\
\textbf{Sortie :}&Afficher $U$ et Afficher $V$&L10\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Compléter les lignes (L5) et (L8) de l'algorithme pour obtenir le résultat attendu. 
\item Donner la matrice de transition $M$ associée en prenant les sommets dans l'ordre U puis V.
\item Déterminer la part du marché que possédera ces deux sociétés en 2016 dans ces conditions.
\item Justifier qu'il existe un état stable $P=\left(a \; \; b\right)$ pour cette situation. Le déterminer puis interpréter le résultat obtenu.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{\underline{Partie B}}

\medskip 

L'entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Nombre de recharges en milliers& 1 &3 &5\\ \hline 
Coût total annuel de production en centaines d'euros& 11 &27,4 &83\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Le coût total de production est modélisé par une fonction $C$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] par :

\[C(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 10\qquad  	a, b\: \text{et}\: c\: \text{sont des nombres réels}.\]
	 
Lorsque le nombre $x$ désigne le nombre de milliers de recharges produites, $C(x)$ est le coût total de production en centaines d'euros.
 
On admet que le triplet $(a, b, c)$ est solution du système $(S)$. 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l} 
a+b+c&=&1\\ 
27a + 9b + 3c &=& 17,4\\ 
125a + 25b + 5c &=& 73
\end{array}\right. 
 \text{et on pose}\: X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.\] 
\newpage
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire ce système sous la forme $MX = Y$ où $M$ et $Y$ sont des matrices que l'on précisera. 
		\item On admet que la matrice $M$ est inversible. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le triplet $(a, b, c)$ solution du système $(S)$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour \np{8000} recharges d'eau produites ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\exercice \emph{(8 points)} 

\medskip
 
Une grande ville a mis en place un système de location de bicyclettes en libre service. Un abonné peut ainsi louer une bicyclette dans une station puis la déposer dans n'importe quelle station de son choix. la ville comporte sept stations de location nommées A, B,  C, D, E, F et G.

\medskip

Les stations sont reliées entre elles par une piste cyclable et les temps de parcours en minutes sont indiqués sur le graphe ci-contre.
\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.8cm,colsep=0.8cm]
 &  &  & B \\
A &  &  &  &  & C \\
 & E \\
 &  &  &  &  &  &  & D \\
 & F \\
 &  &  &  & G
\end{psmatrix}
\psset{arrows=-,shortput=nab}
\ncline{2,1}{1,4}^{7}
\ncline{2,1}{2,6}\ncput*{11}
\ncline{2,1}{5,2}\ncput*{13}
\ncline{1,4}{2,6}^{10}
\ncline{1,4}{4,8}\ncput*{15}
\ncline{3,2}{1,4}^{14}
\ncline{2,6}{3,2}^{9}
\ncline{2,6}{5,2}^{18}
\ncline{4,8}{3,2}\ncput*{5}
\ncline{4,8}{6,5}^{5}
\ncline{3,2}{5,2}^{8}
\ncline{5,2}{6,5}^{18}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Philippe, cycliste très prudent, décide de visiter cette ville en n'empruntant que des pistes cyclables. A-t-il la possibilité d'effectuer un parcours empruntant une fois et une seule toutes les pistes cyclables. Justifier la réponse. À la fin de ce parcours, pourra-t-il rendre sa bicyclette dans la station de départ ? Justifier la réponse.

\item On appelle $M$ la matrice associée à ce graphe. on donne deux matrices $N$ et $T$ :
\begin{center}
$N=\begin{pmatrix}4&9&8&5&5&9&2\\
9&6&10&7&10&6&4\\
8&10&8&5&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&10&10&8&6&11&2\\
9&6&9&4&11&4&6\\
2&4&4&5&2&6&0
\end{pmatrix}~\text{et}\; \; T=\begin{pmatrix}
4&9&8&4&5&9&1\\
9&6&10&6&10&6&4\\
8&10&8&4&10&9&4\\
5&7&5&2&8&4&5\\
5&8&10&8&6&11&0\\
9&6&9&4&11&4&6\\
1&4&4&5&0&6&0
\end{pmatrix}$
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Une des deux matrices $N$ ou $T$ est la matrice $M^3$. Sans calcul, indiquer quelle est la matrice $M^3$. Justifier la réponse.

\item Philippe a loué une bicyclette à la station F et l'a rendue à la station E. Au cours de son déplacement, il est passé exactement deux fois devant une station. Combien de trajets différents a-t-il pu suivre ? Expliquer.
\end{enumerate}

\item Le lendemain, il envisage de rejoindre le plus rapidement possible la station G en partant de la station A. À l'aide d'un algorithme, déterminer un tel parcours et donner le temps nécessaire pour l'effectuer.
\end{enumerate}

\bigskip

\end{document}