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1h30}{Spé TES} \hrule \vspace*{0.5cm} \exercice \emph{(1 point)} \medskip Soit $M$ la matrice : \[M=\left(\begin{array}{cccc} 1&-5&4&6\\1&3&-4&-1\\2&9&-1&2\end{array} \right)\] \begin{enumerate} \item Donner la taille de cette matrice. \item Donner la valeur des \'el\'ements $a_{11}$, $a_{23}$, $a_{33}$ et $a_{34}$ de cette matrice. \end{enumerate} \bigskip \exercice \emph{(4 points)} \medskip Dans chacun des cas suivants, pr\'eciser si le produit $A\times B$ existe et, si oui, le calculer. \vspace{-1em}\begin{multicols}{2}\begin{enumerate} \item $A=\left(\begin{array}{cc} 1&1\\-2&-1 \end{array} \right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc} 2&-3&5\\-1&1&-1 \end{array} \right)$ \item $A=\left(\begin{array}{cc} 1&4\\2&5\\3&6 \end{array} \right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&-3\\2&1&0 \end{array} \right)$ \item $A=\left(\begin{array}{cc} 14&-5\\7&6\\0&1 \end{array} \right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} 5&4\\-1&6\\-1&0 \end{array} \right)$ \item $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\0&0&0 \end{array} \right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\1&0\\1&0 \end{array} \right)$ \end{enumerate}\end{multicols}\vspace{-1em} \bigskip \exercice \emph{(3 points)} \medskip On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc} -3&0\\1&2 \end{array} \right)$ \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice $A$ est inversible. \item Déterminer, \textbf{à la main}, l'inverse de la matrice $A$. \end{enumerate} \bigskip \exercice \emph{(3 points)} \medskip Soit le syst\`eme $\left\{\begin{array}{l} 3x+4y=10 \\ x+2y=8\end{array}\right.$ \medskip On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{cc} 3&4\\1&2\end{array} \right)$ \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice $A$ est inversible. \item Écrire sous forme matriciel ce système. \item Résoudre \textbf{à l'aide de la calculatrice} ce système. \end{enumerate} \bigskip \exercice \emph{(5 points)} \medskip Soit le syst\`eme $\left\{\begin{array}{l} 2x+y-z=1 \\ x+2y-z=2 \\ x-y+2z=3 \end{array}\right.$ \\ \begin{enumerate} \item Écrire sous forme matriciel ce système. %\item Vérifier que la matrice inverse de $A$ est : %\[A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 0,5&-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-0,5&\frac{5}%{6}&\frac{1}{6}\\-0,5&0,5&0,5\end{array} \right)\] \item Résoudre \textbf{à l'aide de la calculatrice} ce système. \end{enumerate} \bigskip \exercice \emph{(4 points)} \medskip On considère la matrice $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)$ \begin{enumerate} \item Calculer, \textbf{à l'aide de la calculatrice}, les matrices $A^{2}$ et $A^{3}$. \item Calculer $A^3-3A^2+3A-I_{3}$ o\`u $I_{3}$ est la matrice identit\'e d'ordre 3. \item En d\'eduire $A^3-3A^2+3A$. \item En d\'eduire, à l'aide d'une factorisation, que $A$ est inversible et donner une expression de $A^{-1}$. \end{enumerate} \bigskip \end{document}