\documentclass[10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{fourier} \usepackage{fouriernc} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{pst-plot,pst-text} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} %\usepackage{slashbox} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{esvect} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{color} \usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{xcolor} \colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20} \usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e} \SetKwInput{Lire}{Lire} \SetKwInput{Afficher}{Afficher} \SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables} \newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined% \VarAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin} \newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined% \EntrAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin} \newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined% \TraitAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin} \newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined% \SortAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \makeatletter \newsavebox{\LFB@lgo} \newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo} \small\begin{minipage}{#1\linewidth}% \begin{algorithm}[H]% \caption{#2}}% {\end{algorithm}% \end{minipage}% \end{lrbox}% \begin{center} \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}} % \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}} \end{center}} \makeatother \newcommand{\recoit}{\ensuremath{\rightarrow}} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\QCM}[3]{ $\bullet$ \quad #1 \hfill $\bullet$ \quad #2 \hfill $\bullet$ \quad #3 } \newcommand{\QCMc}[4]{ #1 \\ \makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #2 }\hfill \makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #3 }\hfill \makebox[3cm][l]{\psframe(.25,.25) \qquad #4 }} % QCM avec cases à cocher% \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \textheight 26.5 cm \topmargin -4cm \headheight 12pt \parindent 0pt \textwidth 170mm \oddsidemargin -5 mm \evensidemargin -25 mm \usepackage{multicol} \newcommand{\ds}[3]{ \begin{center} \begin{LARGE} \textbf{\textsc{Devoir Surveillé de Mathématiques n°#1}}\\ \end{LARGE} \vspace*{0.3cm} \textit{#2}\hfill\textit{#3} \end{center} \hrule} \newcounter{numeroexo} \newcommand{\exercice}{\par\noindent\stepcounter{numeroexo} \underline{{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo} :}}}\quad} \begin{document} \ds{4}{le 7 mars 2014 - 1h30}{Spé TES} \hrule \vspace*{0.5cm} \exercice \emph{(12 points)} %amerique du sud nov 2013 \medskip Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard. L'étude révèle que : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$. \item Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On note $S$ l'état : \og la personne pratique le ski de piste \fg{} et $\overline{S}$ l'état : \og la personne pratique le snowboard \fg. On note également pour tout entier naturel $n$ : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item $p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ; \item $q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver; \item $P_{n} = \left(p_{n}\quad q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc : \\ $P_{0} = (1\quad 0)$. \bigskip \underline{\textbf{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$. \item \begin{enumerate} \item Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste. \item Calculer $M^2$. \item Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$. \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$. \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline \textbf{Variables :}&\\ \textcircled{1}&$J$ et $N$ sont des entiers naturels\\ \textcircled{2}&$p$ est un nombre réel\\ \textbf{Entrée :}&\\ \textcircled{3}& Saisir $N$\\ \textbf{Initialisation :}&\\ \textcircled{4}&$p$ prend la valeur 1\\ \textbf{Traitement :}&\\ \textcircled{5}&Pour $J$ allant de $1$ à $N$\\ \textcircled{6}&\hspace{0.75cm}$p$ prend la valeur \dotfill.\\ \textcircled{7}&Fin Pour\\ \textbf{Sortie :}&\\ \textcircled{8}&Afficher $p$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip Recopier et compléter la ligne $\textcircled{6}$ de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$. \end{enumerate} \bigskip \underline{\textbf{Partie B}} \medskip On considère, pour tout entier naturel $n$, l'évènement $S_{n}$ : \og la personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver \fg. La probabilité de l'évènement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$. On sait d'après la \textbf{partie A} que pour tout entier naturel $n,\: p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,3$. Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$. \item En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat. \end{enumerate} \bigskip \newpage \underline{\textbf{Partie C}} \medskip Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas. Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages. Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(13,11.5) \cnodeput(0.3,8){A}{A} \cnodeput(4.8,10.8){B}{B} \cnodeput(12.3,8.3){C}{C} \cnodeput(11.4,3.6){D}{D} \cnodeput(1.8,4.1){E}{E} \cnodeput(5.5,6.2){F}{F} \cnodeput(9.3,0.8){G}{G} \cnodeput(6.4,3.7){H}{H} \cnodeput(4,0.4){I}{I} \ncline{A}{B}\ncput*{7}\ncline{B}{C}\ncput*{13}\ncline{C}{D}\ncput*{12}\ncline{D}{G}\ncput*{5} \ncline{G}{I}\ncput*{7}\ncline{I}{E}\ncput*{18}\ncline{A}{E}\ncput*{21}\ncline{C}{A}\ncput*{16}\ncline{E}{F}\ncput*{5} \ncline{F}{C}\ncput*{8}\ncline{B}{D}\ncput*{18} \ncline{H}{D}\ncput*{6}\ncline{H}{E}\ncput*{12} \ncline{H}{I}\ncput*{19}\ncline{H}{G}\ncput*{13} \ncline{B}{E}\ncput*{15}\ncline{F}{H}\ncput*{7} \ncline{F}{B}\ncput*{8} \end{pspicture} \end{center} Déterminer, à l'aide d'un algorithme, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. \bigskip \exercice \emph{(8 points)} \medskip On donne la matrice d'adjacence $M$ d'un graphe $G$ et quelques unes de ses puissances. R\'epondre aux questions sui\-van\-tes, en justifiant vos r\'eponses soigneusement \underline{uniquement} \`a l'aide des matrices donn\'ees. \setlength{\columnseprule}{0pt} \vspace{-1em}\begin{multicols}{2}\[M=\left( \begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \] \[M^2=\left( \begin{array}{ccccccc} 3 & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right) \] \[M^3=\left( \begin{array}{ccccccc} 2 & 7 & 4 & 6 & 1 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 5 & 2 & 6 & 5 & 2 \\ 4 & 5 & 2 & 2 & 2 & 1 & 2 \\ 6 & 2 & 2 & 0 & 5 & 2 & 4 \\ 1 & 6 & 2 & 5 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 1 & 3 & 2 \end{array} \right) \] \[M^4=\left( \begin{array}{ccccccc} 17 & 9 & 9 & 4 & 13 & 8 & 8 \\ 9 & 23 & 9 & 15 & 4 & 4 & 7 \\ 9 & 9 & 9 & 8 & 7 & 7 & 3 \\ 4 & 15 & 8 & 15 & 2 & 6 & 2 \\ 13 & 4 & 7 & 2 & 11 & 7 & 6 \\ 8 & 4 & 7 & 6 & 7 & 8 & 2 \\ 8 & 7 & 3 & 2 & 6 & 2 & 7 \end{array} \right) \]\end{multicols}\vspace{-1em} \begin{enumerate} \item Quel est l'ordre du graphe $G$ ? \item Ce graphe est-il orient\'e ? \item Quel est de degr\'e du sommet 3 ? \item Ce graphe admet-il un cycle eul\'erien ? Une cha\^ine eul\'erienne ? \item Quelle est la distance entre le sommet 2 et le sommet 7 ? \item Quel est le diam\`etre de $G$ ? \item Combien y a-t-il de cha\^ines de longueur 4 qui partent du sommet 4 ? \item Combien y a-t-il de cha\^ines de longueur 4 qui partent du sommet 6 et qui y reviennent ? \item Combien y a-t-il de cha\^ines de longueur 3 qui partent du sommet 3 et qui n'y reviennent pas ? \end{enumerate} \bigskip \end{document}