\documentclass[10pt]{article} \usepackage{ifthen} \usepackage[utf8]{inputenc} % \usepackage{fourier} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{geometry} \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm} \setlength{\parindent}{0pt} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifpdf} \ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex \usepackage{multicol} \setlength{\multicolsep}{12pt} \setlength{\columnsep}{40pt} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \usepackage{enumitem} % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep} \setenumerate{align=left,leftmargin=*} \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*} \setitemize{nolistsep} \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[official,right]{eurosym} \usepackage[frenchb]{babel} \frenchbsetup{CompactItemize=false} \DecimalMathComma \newcounter{exercice} \newcounter{refex} \renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}} \newcounter{partie}[exercice] \newcounter{refpart} \renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}} \renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}} \makeatletter \newenvironment{exercice}[1][]{% \stepcounter{exercice} \refstepcounter{refex} \vspace{0.5em} \par \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}% \@xsect{-1em}% \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}% }{\par\vspace{1.5em}} \makeatother \newenvironment{partie}[1][]{% \stepcounter{partie} \refstepcounter{refpart} \par \vspace{0.5ex}\noindent \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}% }\nopagebreak\par% }{\par\vspace{1em}} %%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} %%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[} \newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]} \newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)} \newcommand{\calc}{\mathscr{C}} \newcommand{\cald}{\mathscr{D}} \newcommand{\calt}{\mathscr{T}} %%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[e]{esvect} \newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}} \newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)} \newcommand{\oijk}{\left(O\,{;}\,\vect{i}{,}\,\vect{j} {,}\,\vect{k} \right)} \newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}} \newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}} %%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\cp}[2]{% \begin{pmatrix} #1\\ #2 \end{pmatrix}% } %%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\sysd}[2]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ \end{aligned} \right.% } \newcommand{\syst}[3]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } \newcommand{\sysq}[4]{% \left\{ \begin{aligned} #1\\ #2\\ #3 \end{aligned} \right.% } %%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\card}{Card} % perso nico \newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire \newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} \newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} \newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} \newcommand{\cala}{\mathscr{A}} \newcommand{\calb}{\mathscr{B}} \newcommand{\calp}{\mathscr{P}} \newcommand{\cale}{\mathscr{E}} \newcommand{\calf}{\mathscr{F}} \newcommand{\cals}{\mathscr{S}} \newcommand{\calh}{\mathscr{H}} %%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier \newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}} \newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}} %\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}} % voir avec olivier \newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}} \newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}} \newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}} \newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}} % pour écrire des limites \newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}} \newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent \newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique \usepackage{enumitem} %\usepackage{xypic} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsfonts} \usepackage{mathrsfs} % \usepackage{shortlst} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add} \newtheorem{remarque}{Remarque} \newtheorem{remarque*}{Remarque} \newtheorem{theorem*}{Théorème} \newtheorem{definition*}{Définition} % -------------------------------------------------------------------------------------------------- %devoir surveillé personalisé % #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut % gauche, #4 titre haut droit \newcommand{\devpers}[4]{ %\pagestyle{empty} \noindent \begin{minipage}[t]{\linewidth} \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4} \end{minipage} \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} \vspace{-0.3cm} \rule{\linewidth}{0.5mm} } \newenvironment{exnormal}[1]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{1em} \par \noindent {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :} }{\vspace{0.25em}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newenvironment{exodev}[2]{ \addtocounter{exercice}{1} \vspace{0.5em} \par \noindent {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }} }{\vspace{0.05em}%\hrule } %\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}} %\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} %\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}} %\newcommand{\finexo}{\end{exodev}} \newcommand{\E}{\text{e}} \renewcommand{\i}{\text{i}} % pour faire le conjugué \newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} } \usepackage{tabularx} \usepackage{manfnt} % pour utiliser des symboles comme danger etc ... %\reversemarginpar % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche \newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}} \usepackage{pifont} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù % pour faire un cours \usepackage{amsmath,mathrsfs} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\titrecours}[3]{ {\bf {\Large {\noindent Math\'{e}matiques-#2 \hfill Ann\'ee scolaire $\mathbf{#3}$ \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} \vspace{-1cm} \begin{center} {\LARGE{#1}} \end{center} } } } \vspace{-.4cm} \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm} } % les definitions, remarques, theoremes ..... \newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme} %\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme} \newtheorem{axiome}{Axiome} %\newtheorem*{axiome*}{Axiome} \newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme} \newtheorem{notation}[theoreme]{Notation} %\newtheorem*{notation*}{Notation} \newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition} \newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire} \newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme} %\theoremstyle{definition} \newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e} %\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e} \newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} %\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} \newtheorem{question}{\underline {Question}} %\newtheorem*{question*}{\underline {Question}} \newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} %\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} \newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} %\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} %\theoremstyle{remark} %\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque} %\newtheorem*{remarque*}{Remarque} %Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut. % pour faire des compositions de limites \newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2} \left.\begin{array}{l} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array} \right\} \implique #4} \renewcommand{\arraystretch}{1} } %demonstration, preuves... \newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm} \newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage{xcolor} \colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20} \usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e} \SetKwInput{Lire}{Lire} \SetKwInput{Afficher}{Afficher} \SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables} \newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined% \VarAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin} \newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined% \EntrAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin} \newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined% \TraitAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin} \newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined% \SortAlgo{}{#1} \SetAlgoLined} \makeatletter \newsavebox{\LFB@lgo} \newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo} \small\begin{minipage}{#1\linewidth}% \begin{algorithm}[H]% \caption{#2}}% {\end{algorithm}% \end{minipage}% \end{lrbox}% \begin{center} \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}} % \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}} \end{center}} \makeatother \newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}} %inserer une figure à droite du texte %\textfig{largeur en %}{echelle}figure} \usepackage{calc} \newsavebox{\maboite} \newenvironment{textfig}[3]% {\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth} \begin{center} \includegraphics[scale=#2]{#3} \end{center} \end{minipage}} \begin{minipage}{#1\linewidth}}% {\end{minipage} \usebox{\maboite}} \newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}} \newcommand{\finexo}{\end{exnormal}} %\input{TexteFigureMP} \begin{document} \pagestyle{empty} \begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple) \begin{empcmds} input latexmp; input repere; % setupLaTeXMP(inputencoding="utf8", % packages="mathdesign[utopia],mathtools,babel[frenchb]", % preamble="\DecimalMathComma"); % color coul[]; % coul1:=(0,0,1); \end{empcmds} \devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 3 (1h30)}{}{T\up{ale}ES spé}{23 janvier 2015} \setlength{\columnseprule}{.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} %\setcounter{exercice}{-1} %\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice} \begin{exercice} Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux. La description des itinéraires est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe correspondent aux lieux remarquables. Les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre ces lieux. %\bigskip \parbox{0.52\linewidth}{ Légende : \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{lll l} \large{\ding{192}} & Départ & \large{\ding{193}} & Passerelle\\ \large{\ding{194}} & Roche percée & \large{\ding{195}} & Col des 3 vents\\ \large{\ding{196}} & Pic rouge &\large{\ding{197}} & Refuge\\ \large{\ding{198}} & Col vert & \large{\ding{199}} & Pont Napoléon\\ \large{\ding{200}} & Cascade des anglais & \large{\ding{201}} & Arrivée\\ \end{tabular}}\hfill\parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=0.8cm} \begin{flushright} \begin{pspicture}(8.5,8) \psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2} \dotnode(0.4,3.6){A} \dotnode(1.7,3.3){B} \dotnode(1.6,.7){C} \dotnode(3.1,6.8){D} \dotnode(3.6,4){E} \dotnode(3.9,2.2){F} \dotnode(5.9,3){G} \dotnode(6.3,1.1){H} \dotnode(6.9,6.7){I} \dotnode(7.5,2.4){J} \ncline{A}{C} \ncline{C}{B} \ncline{B}{A} \ncline{A}{D} \ncline{D}{B} \ncline{B}{E} \ncline{E}{D} \ncline{D}{I} \ncline{I}{G} \ncline{G}{E} \ncline{E}{F} \ncline{F}{C} \ncline{C}{H} \ncline{H}{J} \ncline{J}{I} \ncline{F}{H} \ncline{H}{G} \psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt} \nput{180}{A}{\ding{192}} \nput{-30}{B}{\ding{193}} \nput{-90}{C}{\ding{194}} \nput{90}{D}{\ding{195}} \nput{40}{E}{\ding{196}} \nput{-90}{F}{\ding{197}} \nput{-30}{G}{\ding{198}} \nput{-90}{H}{\ding{199}} \nput{90}{I}{\ding{200}} \nput{-30}{J}{\ding{201}} \uput[l](-.1,3.6){D} \uput[dl](8.3,2.4){A} \end{pspicture} \end{flushright}} \begin{enumerate} \item Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seule fois mais n'empruntant pas forcément tous les sentiers. \item Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} \parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2} \item On note $M$ la matrice d'adjacence associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre. On donne ci-contre $M^5$. \begin{enumerate} \item Que représente le nombre $89$ situé sur la deuxième ligne et la quatrième colonne ? \item Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire passant par le pic rouge. \end{enumerate} \end{enumerate}}\hfill\parbox{0.46\linewidth}{\begin{flushright} {\small $M^5 = \begin{pmatrix} 56 &78 &75 &82 &59 &57 &54& 40 &26 &31\\ 78 &88 &95 &89 &96 &57 &50 &65 &48 &30\\ 75 &95 &68 &68 &77 &68 &46 &73 &52 &23\\ 82 &89 &68 &62 &98 &49 &29 &79 &67 &13\\ 59 &96 &77 &98 &50 &82 &80 &40 &24&46 \\ 57 &57 &68 &49 &82 &36 &25 &68 &49 &16\\ 54 &50 &46 &29 &80 &25 &10 &73 &60 &5\\ 40 &65 &73 &79 &40 &68 &73 &32 &14 &48\\ 26 &48 &52 &67 &24 &49 &60 &14 &6 &39 \\ 31 &30 &23 &13 &46 &16 &5 &48 &39 &2 \end{pmatrix}$} \end{flushright}} \parbox{0.52\linewidth}{\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{3} \item On a complété ci-contre le graphe décrivant les itinéraires avec les temps de parcours en minutes pour chacun des sentiers. Déterminer l'itinéraire allant de D à A le plus court en temps. On fera apparaître la démarche en utilisant un algorithme. \end{enumerate}}\hfill\parbox{0.46\linewidth}{ \psset{unit=0.8cm} \begin{flushright} \begin{pspicture}(8.5,8) \psset{linewidth=1pt,dotstyle=*,dotscale=1.2,labelsep=1pt} \dotnode(0.4,3.6){A} \dotnode(1.7,3.3){B} \dotnode(1.6,.7){C} \dotnode(3.1,6.8){D} \dotnode(3.6,4){E} \dotnode(3.9,2.2){F} \dotnode(5.9,3){G} \dotnode(6.3,1.1){H} \dotnode(6.9,6.7){I} \dotnode(7.5,2.4){J} \ncline{A}{C}\nbput{\sf{\small{15}}} \ncline{C}{B}\nbput{\sf{\small{25}}} \ncline{B}{A}\nbput{\sf{\small{35}}} \ncline{A}{D}\naput{\sf{\small{90}}} \ncline{D}{B}\naput{\sf{\small{60}}} \ncline{B}{E}\nbput{\sf{\small{50}}} \ncline{E}{D}\nbput{\sf{\small{35}}} \ncline{D}{I}\naput{\sf{\small{45}}} \ncline{I}{G} \nbput{\sf{\small{20}}}\ncline{G}{E}\nbput{\sf{\small{10}}} \ncline{E}{F}\naput{\sf{\small{40}}} \ncline{F}{C}\nbput{\sf{\small{25}}} \ncline{C}{H}\nbput{\sf{\small{90}}} \ncline{H}{J}\nbput{\sf{\small{40}}} \ncline{J}{I}\nbput{\sf{\small{20}}} \ncline{F}{H}\naput{\sf{\small{55}}} \ncline{H}{G}\nbput{\sf{\small{15}}} \psset{linewidth=.75pt,,linecolor=black,labelsep=1.5pt} \nput{180}{A}{\ding{192}} \nput{-30}{B}{\ding{193}} \nput{-90}{C}{\ding{194}} \nput{90}{D}{\ding{195}} \nput{40}{E}{\ding{196}} \nput{-90}{F}{\ding{197}} \nput{-30}{G}{\ding{198}} \nput{-90}{H}{\ding{199}} \nput{90}{I}{\ding{200}} \nput{-30}{J}{\ding{201}} \uput[l](-.1,3.6){D} \uput[dl](8.5,2.4){A} \end{pspicture} \end{flushright} } \end{exercice} \newpage \begin{exercice} On considère le graphe étiqueté suivant. \begin{center} \includegraphics[scale=.15]{Automate.eps} \end{center} \begin{enumerate} \item Les mots MURES, MIRES, et MIRUS sont-ils reconnus ? \item Dresser la matrice $M$ d'adjacence de ce graphe (on prendra les sommets dans l'ordre). \item Combien y a t-il de mots de 4 lettres reconnus par ce graphe ? En dresser la liste. \end{enumerate} \end{exercice} \end{empfile} \end{document}