\documentclass[10pt]{article}


 \usepackage{ifthen}

  \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{fourier}
\usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage[svgnames]{xcolor}

  \usepackage{geometry}
  \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

  \setlength{\parindent}{0pt}

  \usepackage{graphicx}
  \usepackage{ifpdf}
   \ifpdf
     \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
   \fi

 \usepackage{emp} % Le package pour mettre du metapost dans le fichier tex

  \usepackage{multicol}
  \setlength{\multicolsep}{12pt}
  \setlength{\columnsep}{40pt}
  \setlength{\columnseprule}{0.5pt}

  \usepackage{enumitem}
 % \setenumerate{align=left,leftmargin=*,noitemsep}
\setenumerate{align=left,leftmargin=*}
  \setenumerate[2]{label=\alph*),widest=a,ref=\theenumi.\alph*}
  \setitemize{nolistsep}

  \usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \frenchbsetup{CompactItemize=false}
  \DecimalMathComma

\newcounter{exercice}
\newcounter{refex}
\renewcommand{\therefex}{\arabic{exercice}}
\newcounter{partie}[exercice]
\newcounter{refpart}
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\renewcommand{\therefpart}{\Alph{partie}}

\makeatletter
\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \stepcounter{exercice}
		     \refstepcounter{refex}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
                     \def\@svsechd{\large \color{white} \colorbox{purple}{\bfseries\arabic{exercice}}}%
                     \@xsect{-1em}%
                     \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\textbf{#1}\par}%
                     }{\par\vspace{1.5em}}
\makeatother

\newenvironment{partie}[1][]{%
                     \stepcounter{partie}
                     \refstepcounter{refpart}
		      \par \vspace{0.5ex}\noindent
		     \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
		     }\nopagebreak\par%
                     }{\par\vspace{1em}}



%%%%%%%%%%% Ensembles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

%%%%%%%%%%% Intervalles %%%%%%%%%%%%
\newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleOF}[2]{\left]{#1}\,{;}\,{#2}\right]}
\newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right[}
\newcommand{\intervalleFF}[2]{\left[{#1}\,{;}\,{#2}\right]}

\newcommand{\couple}[2]{\left(#1\,{;}\,{#2}\right)}


\newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
\newcommand{\cald}{\mathscr{D}}
\newcommand{\calt}{\mathscr{T}}
%%%%%%%%%%%% Vecteurs %%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[e]{esvect}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\repere}[3]{\left(#1\,{;}\,\vect{#2}{,}\,\vect{#3} \right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O\,{;}\,\vect{i}{,}\,\vect{j} {,}\,\vect{k} \right)}
\newcommand{\oij}{\repere{O}{\imath}{\jmath}}
\newcommand{\ouv}{\repere{O}{u}{v}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{#1\rule{0.1em}{0ex}}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }

%%%%%%%%%%%% Systèmes %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\sysd}[2]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }

\newcommand{\sysq}[4]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




%%%%%%%%%%%% Divers %%%%%%%%%%%%%%%
\DeclareMathOperator{\card}{Card}


% perso nico

\newcommand{\orth}{\bot} % Pour faire le symbole perpendiculaire
\newcommand{\cm}{\,\mathrm{cm}} 
\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}} 
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}} 

\newcommand{\cala}{\mathscr{A}}
\newcommand{\calb}{\mathscr{B}}
\newcommand{\calp}{\mathscr{P}}
\newcommand{\cale}{\mathscr{E}}
\newcommand{\calf}{\mathscr{F}}
\newcommand{\cals}{\mathscr{S}}
\newcommand{\calh}{\mathscr{H}}


%%%%%%%%%%% Limites %%%%%%%%%%%%olivier
\newcommand{\limn}{\ds\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow 0}}
%\newcommand{\limite}[2][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow #2}}  % voir avec olivier
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limminf}[1][x]{\ds\lim_{#1\rightarrow -\infty}}
\newcommand{\limiteg}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{<}#2}}
\newcommand{\limited}[2][x]{\ds\lim_{x\xrightarrow{>}#2}}


% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent
\newcommand{\implique}{\Longrightarrow} % Pour faire le symbole implique

\usepackage{enumitem}
%\usepackage{xypic}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{mathrsfs}
%  \usepackage{shortlst}


\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-3dplot,pstricks-add}
\newtheorem{remarque}{Remarque}
\newtheorem{remarque*}{Remarque}
\newtheorem{theorem*}{Théorème}
\newtheorem{definition*}{Définition}


% --------------------------------------------------------------------------------------------------

%devoir surveillé personalisé
% #1 titre principal, #2 titre milieu haut en petit, #3 titre haut
% gauche, #4 titre haut droit 
\newcommand{\devpers}[4]{
                         %\pagestyle{empty} 
                         \noindent 
                         \begin{minipage}[t]{\linewidth}
                         \textit{#3 } \hfill \textit{ #2} \hfill \textit{#4}
                         \end{minipage}
                         \begin{center}{{\Large\bf #1 }} \end{center} 
                         \vspace{-0.3cm}
                         \rule{\linewidth}{0.5mm} 
                         }




\newenvironment{exnormal}[1]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{1em} \par \noindent
                              {\bf Exercice \arabic{exercice}{\bf #1 } :}
                            }{\vspace{0.25em}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\newenvironment{exodev}[2]{
                             \addtocounter{exercice}{1}
                             \vspace{0.5em} \par \noindent
                              {\subsubsection*{Exercice \arabic{exercice}~:{~\bf #2 } }}
                            }{\vspace{0.05em}%\hrule
			    }
%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exnormal}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\newcommand{\exo}[1]{\begin{exodev}{}}
%\newcommand{\finexo}{\end{exodev}}
\newcommand{\E}{\text{e}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
% pour faire le conjugué
\newcommand{\conj}[1]{\overline{\rule{0em}{1.5ex}#1\rule{0em}{1.5ex}} }
\usepackage{tabularx}


\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...
%\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
\newcommand{\danger}{\marginpar[\Large \hfill\dbend]{\LARGE \dbend\hfill}}

\usepackage{pifont}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% pour faire un cours 

\usepackage{amsmath,mathrsfs}
  \usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\titrecours}[3]{
                           {\bf
                           {\Large
                           {\noindent Math\'{e}matiques-#2
                            \hfill Ann\'ee scolaire  $\mathbf{#3}$  
                            \noindent\rule{\linewidth}{0.5mm} 
                            \vspace{-1cm}
                            \begin{center}
	                    {\LARGE{#1}}
                            \end{center}
                           }
                           }
                           }
                           \vspace{-.4cm}
                           \noindent \rule{\linewidth}{0.5mm}
                           }          

% les definitions, remarques, theoremes .....

\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}
%\newtheorem*{theoreme*}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{axiome}{Axiome}
%\newtheorem*{axiome*}{Axiome}
\newtheorem{definitiontheoreme}[theoreme]{D\'efinition et Th\'eor\`eme}
\newtheorem{notation}[theoreme]{Notation}
%\newtheorem*{notation*}{Notation}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{propriete}[theoreme]{Propri\'et\'e}
%\newtheorem*{propriete*}{Propri\'et\'e}
\newtheorem{exemple}[theoreme]{\underline {Exemple}} 
%\newtheorem*{exemple*}{\underline {Exemple}} 
\newtheorem{question}{\underline {Question}}
%\newtheorem*{question*}{\underline {Question}}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition} 
%\newtheorem*{definition*}{D\'efinition} 
\newtheorem{consequence}[theoreme]{Cons\'equence} 
%\newtheorem*{consequence*}{Cons\'equence} 
%\theoremstyle{remark}
%\newtheorem{remarque}[theoreme]{Remarque}
%\newtheorem*{remarque*}{Remarque}
%Pour remetre à jour les commentaire voir le livre de modalidades ou c'est fait comme il faut.



% pour faire des compositions de limites
\newcommand{\composition}[4]{\ensuremath{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\left.\begin{array}{l} 
#1 \\
#2 \\
#3 
\end{array} \right\} \implique #4}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
}

%demonstration, preuves...
\newenvironment{preuve}{\vskip 2mm\noindent {\it Preuve : }}{\flushright $\Box$ \vskip 2mm}
\newenvironment{dem}{\vskip 2mm\noindent {\it D\'emonstration :}}{\par}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fin de pour faire un cours


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%% Algorithmes %%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{xcolor}
\colorlet{LFBcoultable1}{blue!25!black!20}

\usepackage[french,ruled,lined,linesnumbered,inoutnumbered]{algorithm2e}

\SetKwInput{Lire}{Lire}
\SetKwInput{Afficher}{Afficher}

\SetKwFor{VarAlgo}{Variables}{}{finVariables}
\newcommand{\Variables}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \VarAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{EntrAlgo}{Entrées}{}{fin}
\newcommand{\Entrees}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \EntrAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{TraitAlgo}{Traitement}{}{fin}
\newcommand{\Traitement}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \TraitAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}

\SetKwFor{SortAlgo}{Sorties}{}{fin}
\newcommand{\Sorties}[1]{\SetAlgoVlined%
                           \SortAlgo{}{#1}
                           \SetAlgoLined}
\makeatletter
\newsavebox{\LFB@lgo}
\newenvironment{algoLFB}[2][0.5]% % 2 parametres : 1-facultatif largeur en proportion 2-titre de l'algo
               {\setlength{\fboxsep}{0pt}\begin{lrbox}{\LFB@lgo}
               \small\begin{minipage}{#1\linewidth}%
                \begin{algorithm}[H]%
                \caption{#2}}%
               {\end{algorithm}%
                \end{minipage}%
                \end{lrbox}%
                \begin{center}
                \fcolorbox{black}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
%                \fcolorbox{LFBcoultable2}{LFBcoultable1}{\usebox{\LFB@lgo}}
                \end{center}}
\makeatother
\newcommand{\recoit}{\ensuremath{\leftarrow}}

%inserer une figure à droite du texte 
%\textfig{largeur en %}{echelle}figure}
\usepackage{calc}
\newsavebox{\maboite}
\newenvironment{textfig}[3]%
{\savebox{\maboite}{\begin{minipage}{\linewidth-#1\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics[scale=#2]{#3}
\end{center}
\end{minipage}}
\begin{minipage}{#1\linewidth}}%
{\end{minipage} \usebox{\maboite}}



\newcommand{\exo}[2]{\begin{exnormal}{~#2}}
\newcommand{\finexo}{\end{exnormal}}

%\input{TexteFigureMP}
\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)

\begin{empcmds}
    input latexmp;
    input repere;
%     setupLaTeXMP(inputencoding="utf8",
%                  packages="mathdesign[utopia],mathtools,babel[frenchb]",
%                  preamble="\DecimalMathComma");
% color coul[];
% coul1:=(0,0,1);
\end{empcmds}
\devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 5 (1h30)}{}{T\up{ale}ES spé}{26 mars  2015}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

%\setcounter{exercice}{-1}
%\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}
 % D'après nouvelle caledonie mars 2015

Une société est spécialisée dans la vente en ligne de produits de haute technologie sur internet.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La société réalise tout au long de l'année des journées promotionnelles pour attirer ses clients
sur son site internet. Elle leur envoie un courrier électronique annonçant chaque journée de
promotion.

Parmi les clients, 5\,\% d'entre eux ont visité le site internet de la société lors de la première journée de promotion.

Une étude portant sur le comportement des clients auxquels la société a envoyé ce type de
message a mis en évidence que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] trois clients sur cinq ayant visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visitent à nouveau lors de 1a journée promotionnelle suivante ;
\item[$\bullet~~$] un client sur cinq n'ayant pas visité le site internet lors d'une journée promotionnelle, le visite lors de la journée promotionnelle suivante.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On choisit. au hasard, un client ayant reçu le message annonçant la première journée
promotionnelle.

On formule l'hypothèse que les comportements des clients observés lors de l'étude n'évoluent
pas d'une journée promotionnelle à la suivante.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note l'état probabiliste ainsi défini par la matrice ligne $P_n = \begin{pmatrix}x_n& y_n\end{pmatrix}$, où $x_n$ désigne la probabilité que le client, pris au hasard, visite le site internet de la société lors de la $n$-ième journée de promotion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour une journée promotionnelle donnée, on note $V$, l'évènement \og le client a visité le site internet lors de la journée promotionnelle \fg.

Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $V$ et $\overline{V}$.
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets $V$ et $\overline{V}$ dans cet ordre.
\item En remarquant que $P_1 = \begin{pmatrix}0,05& 0,95\end{pmatrix}$, déterminer $P_2$. Interpréter ce résultat.
%\item On admet que le taux de visites se stabilise à long terme. Montrer que $\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ est un état stable de ce système.
\item Déterminer l'état stable s'il existe et en donner une interprétation.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau informatique de cette société est constitué d'un ensemble de routeurs interconnectés
à l'aide de fibres optiques haut débit. Le graphe qui suit schématise l'architecture de ce réseau.
Les sommets représentent les routeurs et les arêtes représentent les fibres optiques.

On a fait figurer les durées de transfert des données (en millisecondes) d'un routeur à un autre
sur les fibres optiques du réseau de la société.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\psset{arrowsize=2.5pt 3} \psset{arcangle=0}
\cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2.5,6){B}{B} 
\cnodeput(2.5,3){C}{C} \cnodeput(2.5,0){D}{D}
\cnodeput(5,4.5){E}{E} \cnodeput(5,1.5){F}{F}
\cnodeput(7.5,6){G}{G} \cnodeput(7.5,0){H}{H}
\cnodeput(10,3){I}{I}
\ncarc{A}{B} \ncput*{30} \ncarc{A}{C} \ncput*{30} \ncarc{A}{D} \ncput*{20}
\ncarc{A}{F} \ncput*{50}
\ncarc{B}{C} \ncput*{20}\ncarc{B}{E} \ncput*{10}
\ncarc{C}{E} \ncput*{40}\ncarc{C}{F} \ncput*{40}
\ncarc{D}{F} \ncput*{40} 
\ncarc{E}{F} \ncput*{30}\ncarc{E}{G} \ncput*{40}
\ncarc{F}{G} \ncput*{10}\ncarc{F}{H} \ncput*{30} \ncarc{G}{H} \ncput*{30} 
\ncarc{G}{I} \ncput*{10} \ncarc{H}{I} \ncput*{40} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Chaque année la société doit vérifier l'état physique de la fibre optique installée sur son réseau. Un robot inspecte toute la longueur de la fibre optique afin de s'assurer qu'elle ne
présente pas de détérioration apparente.

Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en suivant les fibres optiques et en empruntant
chaque fibre optique une et une seule fois ? Justifier la réponse.

Si un tel parcours est possible, préciser par quel(s) routeur(s) du réseau le robot doit
commencer son inspection.
\item Un ordinateur, relié au routeur A envoie un paquet de données à un ordinateur relié au
routeur I.

Le paquet de données a mis $70$~ms pour transiter du routeur A au routeur I. Ce paquet de
données a-t-il emprunté le chemin le plus rapide sur le réseau ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
 % d'apres nouvelle caleone nov 2014
 
Un parc de loisirs propose à ses visiteurs des parcours d'accrobranches. 

Les différents parcours sont modélisés par le graphe $\Gamma$ ci-dessous où les sommets correspondent aux cinq arbres marquant leurs extrémités. Chaque parcours est représenté par une arête du graphe et peut 
être réalisé dans les deux sens.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5)
\cnodeput(0.5,4.75){A}{1}
\cnodeput(5.5,4.75){B}{2}
\cnodeput(7.5,2.75){C}{3}
\cnodeput(4.5,0.5){D}{4}
\cnodeput(0.5,1.5){E}{5}
\ncline{A}{B} \ncline{A}{D} \ncline{A}{E} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{C}{E} 
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item L'organisateur du parc de loisirs souhaite que les visiteurs puissent, s'ils le souhaitent, réaliser un itinéraire complet d'accrobranches, c'est-à-dire un itinéraire empruntant une fois et une seule chaque parcours et en commençant cet itinéraire par l'arbre numéro 1. 

Justifier que ce souhait est réalisable et proposer un tel itinéraire. 
\item On note $M$ la matrice associée au graphe $\Gamma$ en considérant les sommets pris dans l'ordre croissant des numéros d'arbres. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice $M$. 
		\item On donne, ci-dessous, les matrices $M^2$ et $M^3$. 
		
		\[M^2 = \begin{pmatrix}            
3&   2&   2&   1&   1\\     
2&   4&   1&   1 &  2 \\    
2&   1&   2&   1&   1\\  
1&   1&   1&   2&   2\\     
1&   2&   1&   2&   3\\   
\end{pmatrix} \qquad \qquad M^3 = \begin{pmatrix}
4&   7&   3 &  5&   7\\ 
7&   6&   6&   6&   7\\    
3&   6&   2&   3&   5\\   
5&   6&   3&   2&   3\\   
7&   7&   5&   3&   4\\
\end{pmatrix}\]   
  
L'organisateur du parc de loisir souhaite organiser des \og itinéraires express \fg{} qui débuteront à  l'arbre numéro 1, emprunteront trois parcours d'accrobranches et finiront à l'arbre 4. Ces  itinéraires peuvent éventuellement emprunter plusieurs fois le même parcours. 
 
Déterminer, en justifiant votre résultat, le nombre \og d'itinéraires express \fg{} réalisables. 
(On ne demande pas de donner ces différents itinéraires)
	\end{enumerate} 
\item Pour terminer ces \og itinéraires express \fg, on installe un toboggan géant sur l'arbre 4. 


\begin{minipage}{10cm}
 \begin{center}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.5)(21,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.25,-0.5)(21,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x dup mul 0.025 mul x sub 10 add}
\psdots(2,8.1)(10,2.5)(20,0)
\uput[ur](2,8.1){I} \uput[ur](10,2.5){J}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](20,0){K}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{6cm}
 La forme de ce toboggan est modélisée par une fonction $f$ dont la courbe $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé. 
 
 Cette courbe passe par les points I, J et K de coordonnées respectives (2~;~8,1), (10~;~2,5) et (20~;~0). 

La fonction $f$ est définie sur [0~;~20] par 

\[f(x) = ax^2 + bx + c\]

où $a, b$ et $c$ sont trois nombres réels. 

\end{minipage}
\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a, b$ et $c$ sont solutions du système :$\left\{\begin{array}{l c l}
400a + 20b + c &=& 0\\
100a + 10b + c &=& 2,5\\
 4a + 2b + c   &=& 8,1
 \end{array}\right.$ 
		\item Déterminer les matrices $X$ et $V$ pour que le système précédent soit équivalent à 

\[UX = V\quad  \text{où} \quad  U = \begin{pmatrix} 400 &20& 1\\100& 10& 1\\4&2&1
\end{pmatrix}.\]
 
		\item Déterminer $a, b$ et $c$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}