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\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
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    \devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 6 (25mn)}{}{T\up{ale}ES spécialité}{Le 2 mars 2016}

    %% Tiré de polynesie septembre 2013
    
Depuis l'année 2011, ce club sportif propose à ses licenciés une assurance spécifique. La première année, 80\,\% des licenciés y ont adhéré. En 2012, 70\,\% des licenciés ayant adhéré en 2011 ont conservé cette assurance et 60\,\% de ceux n'ayant pas adhéré en 2011 ont adhéré en 2012. 

En supposant que cette évolution se maintienne, le club sportif souhaite savoir quel pourcentage de licenciés adhèrera à cette assurance à plus long terme. 
On note : 	\begin{tabular}{l}
A \og  le licencié est assuré \fg\\ 
B \og le licencié n'est pas assuré \fg
\end{tabular} 

Pour tout entier $n$ non nul, l'état probabiliste du nombre d'assurés l'année $2011 + n$ est défini par la matrice 
ligne $P_{n} = \left(x_{n}\quad y_{n}\right)$ où $x_{n}$ désigne la probabilité pour un licencié d'être assuré l'année $2011 + n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 
\item Écrire la matrice de transition $M$ de ce graphe en prenant les sommets A et B dans cet ordre. 
\item En remarquant que $P_{0} = (0,8\quad  0,2)$, déterminer $P_{1}$. Interpréter ce résultat. 
\item Le club sportif maintiendra son offre d'assurance spécifique si le nombre d'assurés reste supérieur à 55\,\%. L'évolution prévue lui permet-elle d'envisager le maintien de son offre à long terme ? 
\end{enumerate}

\end{empfile}
\end{document}