\documentclass[10pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
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    \devpers{Devoir Mathématiques $N^o$ 7 (45mn)}{}{T\up{ale}ES spécialité}{Le 16 mars 2016}

    %% Tiré de amrique du sud nov 2015
    
Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l'avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg.

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est $0,9$.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est $0,6$.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $b_n$, la probabilité que Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste la $n$-ième semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On a ainsi $a_1 = 0,1$ et $b_1 = 0,9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :
A représente l'état \og Claudine demande un avis à la bibliothécaire\fg{} ;
B représente l'état \og Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire \fg.
		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A, B).
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'on a $P_2 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.
\item  {\bf Ne pas faire cette question. On le verra lors de la correction}
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
	
	\[a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4.\]
	
On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES : 	&$A$ est un réel et $N$ est un entier naturel\\ \hline
INITIALISATION :	&$A$ prend la valeur $0,1$\\
				&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT :		&Tant que $A \leqslant 0,79$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
				&\hspace{0.4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
				&Fin du Tant que\\ \hline
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée en sortie d'algorithme.)
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :

\[a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}.\]

Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à $0,799$.
\end{enumerate}

    
\end{empfile}
\end{document}