\documentclass[11pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{empfile} % Tout doit être inclus dans cet environnement
                % qui a un paramètre facultatif : le nom du fichier .mp
                % par défaut, c'est le nom du fichier .tex (plus simple)
\input{ComonDefMetaPost.tex}

\devpers{Devoir de Mathématiques $N^o$ 4 (30mn)}{}{T\up{ale}S spé}{25 novembre 2016}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{-1}
\begin{exercice}Nom et prénom : \end{exercice}

\begin{exercice}%{congruences}
% Antilles guyane 2011
 On considère l'équation (F) : $11x^2 - 7y^2 = 5$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x^2\equiv 2y^2$~(mod~5).
\item Soient $x$ et $y$ des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants:

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Modulo 5, $x$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, \phantom{2}$x^2$ est congru à &&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.25}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Modulo 5, $y$ est congru à & 0&1&2&3&4\\
\hline
Modulo 5, $2y^2$ est congru à &&&&&\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de $x^2$ et de $2y^2$ par 5~?
\item En déduire que si le couple $(x~;~y)$ est solution de (F), alors $x$ et $y$ sont des multiples de 5.
\item Démontrer que si $x$ et $y$ sont des multiples de 5, alors le couple $(x~;~y)$ n'est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l'équation (F)~?
\end{enumerate}

%\end{
\end{exercice}

% \begin{exercice}
%  Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$.
% 	
% On considère le nombre $N = a \times  10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$.
% 
% On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7. 
% 	\begin{enumerate}
% 		\item  Vérifier que $10^3 \equiv  -1 (\text{modulo}~7)$. 
% 		\item  En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés. 
% 	\end{enumerate}
% \end{exercice}
% 
% \begin{exercice}
% \begin{enumerate}
%  \item Soit $n\in\N$. L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse. Justifiez.
% 
% Le chiffre des unités de $n^2+n$ n'est jamais 4.
% 
% \item Plus généralement, quel peut-être le chiffre des unités de $n^2+n$ ?
% \end{enumerate}
% \end{exercice}

\begin{exercice}
 Soit $n\in\N$. On donne $A_n=n^2+n$.
 
 \begin{enumerate}
 \item $A_n$ peut-il se terminer par 5 ?
\item  Ecrire en langage naturel un alogorithme qui dresse les valeurs des 100 premiéres valeurs de $A_n$. 
\item A l'aide d'un tableau de valeurs fait à calculatrice, faire une conjecture sur le chiffre des unités de $A_n$.
\item Démontrer votre conjecture {\itshape (Vous pourrez introduire la congruence modulo 10)}.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{empfile}
\end{document}