\documentclass[10pt]{article}
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\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
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                                    \begin{corrigeboite}
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\setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Degré 2 (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{22 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}$\ $\\
\begin{minipage}{12cm}
Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$ pour $x\in\R\setminus\{\frac32\}$.

\begin{enumerate}
 \item $f$ est elle dérivable en 1 ? Si oui préciser $f'(1)$ ainsi que l'équation $T_1$ de la tangente en $a=1$. Représentez-là sur le graphique.
%   \item $f$ est elle dérivable en 2 ? Si oui préciser $f'(2)$.
%   \item $f$ est elle dérivable en 3 ? Si oui préciser $f'(-1)$.
  \item Et pour  $x\in\R\setminus\{\frac32\}$. $f$ est elle dérivable en $x$ ? Si oui préciser $f'(x)$.
\end{enumerate}


 \end{minipage}
 \hspace{1cm}
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{mplibcode}


u:=0.8cm;
repere(-2,4 ,1u,-3,6,1u);
vardef f(expr x)=1/(2x-3) enddef;
% vardef g(expr x)=0-x**2+x+3 enddef;
path Cf,Cg;
Cf=courbefonc(f,1.51,10,100);
Cg=courbefonc(f,-6,1.4,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.4white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor 0.7red;
draw Cg withpen pencircle scaled 1 withcolor 0.7red;
% draw Cg withpen pencircle scaled 1;
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}
 \end{minipage}

 \begin{corrige}
  \begin{enumerate}
   \item Pour $h\neq 0$, soit $t$ le taux d'accroissement de la fonction en $1$. On a:
   \begin{align*}
    t(h)&=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
        &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{2(1+h)-3} -(-1) \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{2h-1} +1 \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1+2h-1}{2h-1} \right)\\
         &= \dfrac{2}{2h-1}\\
   \end{align*}

Alors $\limite{h}{0}t(h)=-2 \in \R$.

Il s'ensuit que $f$ est dérivable en $1$ et que $f'(1)=-2$.

La tangente en $1$ a pour équation :

\[
T : y=f'(1)(x-1)+f(1)
\]

Ici $f'(1)=-2$; $f(1)=-1$ donc :

\[
T : y=-2x+1
\]

\item Généralisation pour  $x\in\R\setminus\{\frac32\}$. Soit $t$ le taux en $x$, on a alors pour $h\neq 0$ :

 \begin{align*}
    t(h)&=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
        &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{2(x+h)-3} -\dfrac{1}{2x-3} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{2x+2h-3} -\dfrac{1}{2x-3} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{2x-3-(2x+2h-3)}{(2x+2h-3)(2x-3)} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{-2h}{(2x+2h-3)(2x-3)} \right)\\
         &=\dfrac{-2}{(2x+2h-3)(2x-3)} \\
   \end{align*}

   Alors $\limite{h}{0}t(h)=\dfrac{-2}{(2x-3)^2} \in \R$.

Il s'ensuit que $f$ est dérivable en $x$ et que $f'(x)=\dfrac{-2}{(2x-3)^2} $.
  \end{enumerate}

 \end{corrige}

\end{exercice}


\newpage


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Degré 2 (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{22 octobre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}


\begin{exercice}$\ $\\
\begin{minipage}{12cm}
Soit $f(x)=\dfrac{1}{3x-2}$ pour  $x\in\R\setminus\{\frac23\}$.

\begin{enumerate}
 \item $f$ est elle dérivable en 1 ? Si oui préciser $f'(1)$ ainsi que l'équation $T_1$ de la tangente en $a=1$. Représentez-là sur le graphique.
%   \item $f$ est elle dérivable en 2 ? Si oui préciser $f'(2)$.
%   \item $f$ est elle dérivable en 3 ? Si oui préciser $f'(-1)$.
  \item Et pour  $x\in\R\setminus\{\frac23\}$. $f$ est elle dérivable en $x$ ? Si oui préciser $f'(x)$.
\end{enumerate}


 \end{minipage}
 \hspace{1cm}
 \begin{minipage}{8cm}
\begin{mplibcode}


u:=0.8cm;
repere(-2,4 ,1u,-3,6,1u);
vardef f(expr x)=1/(3x-2) enddef;
% vardef g(expr x)=0-x**2+x+3 enddef;
path Cf,Cg;
Cf=courbefonc(f,0.7,10,100);
Cg=courbefonc(f,-6,0.6,100);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.4white dashed evenly;
draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor 0.7red;
draw Cg withpen pencircle scaled 1 withcolor 0.7red;
% draw Cg withpen pencircle scaled 1;
draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}
 \end{minipage}

 \begin{corrige}
  \begin{enumerate}
   \item Pour $h\neq 0$, soit $t$ le taux d'accroissement de la fonction en $1$. On a:
   \begin{align*}
    t(h)&=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
        &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{3(1+h)-2} -1 \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{3h+1} -1 \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1 - (3h+1)}{3h+1} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{-3h}{3h+1} \right)\\
         &= \dfrac{-3}{3h+1}\\
   \end{align*}

Alors $\limite{h}{0}t(h)=-3 \in \R$.

Il s'ensuit que $f$ est dérivable en $1$ et que $f'(1)=-3$.

La tangente en $1$ a pour équation :

\[
T : y=f'(1)(x-1)+f(1)
\]

Ici $f'(1)=-3$; $f(1)=1$ donc :

\[
T : y=-3x+4
\]

\item Généralisation pour  $x\in\R\setminus\{\frac23\}$. Soit $t$ le taux en $x$, on a alors pour $h\neq 0$ :

 \begin{align*}
    t(h)&=\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
        &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{3(x+h)-2} -\dfrac{1}{3x-2} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{1}{3x+3h-2} -\dfrac{1}{3x-2} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{3x-2-(3x+3h-2)}{(3x+3h-2)(3x-2)} \right)\\
         &= \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{-3h}{(3x+3h-2)(3x-2)} \right)\\
         &=\dfrac{-3}{(3x+3h-2)(3x-2)} \\
   \end{align*}

   Alors $\limite{h}{0}t(h)=\dfrac{-3}{(3x-2)^2} \in \R$.

Il s'ensuit que $f$ est dérivable en $x$ et que $f'(x)=\dfrac{-3}{(3x-2)^2} $.
  \end{enumerate}

 \end{corrige}

\end{exercice}
\end{document}