\documentclass[10pt]{article} \input{Preambule-lua.tex} \usepackage{calligra} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \usepackage{xcolor} \usepackage[skins,breakable]{tcolorbox} \definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0} \definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0} \newboolean{solution} \NewTColorBox{corrigeboite}{}{% breakable, enhanced, colframe=Couleur2!5, colback=Couleur2!5, coltext=Couleur1, title=Correction :, coltitle=Couleur1, fonttitle=\bfseries, attach boxed title to top left, boxed title style={left=0pt, boxrule=0pt, colframe=white, colback=white, }, } \NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b } {\ifthenelse{\boolean{solution}} {\par\medskip \begin{corrigeboite} #1 \end{corrigeboite} \par\medskip} {} } {} \setboolean{solution}{true} % \setboolean{solution}{false} \begin{document} \pagestyle{empty} \devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 5} : Autour de la dérivation (1h50)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{21 novembre 2025}} % \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1 : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024} \setlength{\columnseprule}{.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \setcounter{exercice}{0} \begin{exercice}[(3 points)] La courbe $\calc$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. Les droites tracées sont tangentes à la courbe $\calc$. \begin{center} \begin{mplibcode} u:=0.8cm; repere(-7,9,u,-5,5,u); % draw quadrillage(1,1) withpen pencircle scaled 0.5 withcolor 0.7white; draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8white dashed evenly; draw axes(1,1) withpen pencircle scaled 0.8; % path H;H=hermite((1,-3,0.5),(4,3,0),(8,-3,2))(); % draw H epaisseur 1 couleur bleu; % draw tangente.double(H,1) couleur bleu; % draw tangente.double(H,4) couleur bleu; % draw tangente.double(H,8) couleur bleu; pair A,B,C; A:=(1,3);B:=(4,-1);C:=(7,1); pair P,Q,R; P:=(-6,2);Q:=(-3,-3);R:=(0,3); path I;I=hermite(P,0,Q,0,,A,-1,B,0,C,2)(-7,9); draw I epaisseur 1 couleur rouge; % draw tangente.double(I,1) couleur rouge; % draw tangente.double(I,4) couleur rouge; % draw tangente.double(I,7) couleur rouge; draw tangente(I,1) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8; draw tangente(I,7) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8; fin; \end{mplibcode} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer, par lecture graphique, $f'(1)$ et $f'(7)$. \begin{corrige} On a par lecture graphique des coefficients directeur des droites : $f'(1)=-1$ et $f'(7)=2$. \end{corrige} % \item On admet que $f'(0)=3$. Illustrer cette donnée sur la figure. \item Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f'(x)=0$. Expliquer. \begin{corrige} Le nombre dérivé $f'(x)$ est nul lorsque la tangente est horizontale, c’est-à-dire en $-6, -3, \dfrac12, 4$ (environ). \end{corrige} \item Donner, dans un tableau, le signe de $f'(x)$ en fonction de $x$. \begin{corrige} Les variations de $f$ donne le signe de la dérivée. \medskip \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5] { $x$ / 1, $x^2-4x+3$ / 1} { $\mI$ , $-6$ ,$-3$, $\dfrac12$, $4$, $\pI$} \tkzTabLine{ ,-,z,-,z,+,z,-,z,+, } \end{tikzpicture} \end{corrige} \end{enumerate} % \begin{corrige} % $f(-2)$ est l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $-2$ donc $f(-2)=1$. % % De même $f(3)=2$. % % $f'(-2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $\calc$ au point d'abscisse $-2$. $f'(-2)$ est donc le coefficient directeur de $d_1$. Ainsi $f'(-2)=-2$. % % $f'(3)$ est le coefficient directeur de $d_2$ donc $f'(3)=-3$. % \end{corrige} \end{exercice} \begin{exercice}[(3 points)]$\ $\\ \begin{minipage}{10cm} Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+1$. On donne le graphe ci-contre. Soit $A(0;-1)$ \begin{enumerate} \item Conjecturez le nombre de tangentes passant par $A$. \item Soit $a\in\R$, montrer que la tangente à $\calc_f$ au point d'abscisse $a$ satisfait : % \[\calt_a : y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a+1\] \[\calt_a : y=(2a+2)x-a^2+1\] \item Déduire et donner l'équation des tangentes passant par $A$. \end{enumerate} \end{minipage} \hspace{0.3cm} \begin{minipage}{5cm} \begin{mplibcode} u:=1cm; repere(-3,3,u,-1.5,6,u); vardef f(expr x)=x*x +2x +1 enddef; % vardef g(expr x)=x*x+2x-1 enddef; path C_fa,C_fb,C_g; % Cf=courbefonc(f,-4,2,40); C_fa=courbefonc(f,-6,6,40); % C_fb=courbefonc(f,-1.99,4,40); % C_g=courbefonc(g,-6,4,40); % draw base(O,i,j); draw quadrillage(.5,.5) withcolor 0.7white dashed evenly; draw axexn(1,1); draw axeyn(1,1); draw tangente(C_fa,1.414) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8; draw tangente(C_fa,-1.414) couleur bleu withpen pencircle scaled 0.8; marquepointcourbe(C_fa,1.414,-1.414); % draw Cf withpen pencircle scaled 1; % nomme.urt(Cf,3.3,LaTeX("$C_f$")); draw C_fa couleur rouge withpen pencircle scaled 1; % draw C_fb withpen pencircle scaled 1; % draw C_g withpen pencircle scaled 1; % nomme.urt(C_fa,2,LaTeX("$C_f$")); % nomme(C_g); % MarquePoint(_c(-4,16)); % MarquePoint(_c(2,10)); % draw cadre withpen pencircle scaled 2; fin; \end{mplibcode} \end{minipage} \begin{corrige} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, on voit deux points de contact depuis $A$. Il existe deux tangentes. % \item Pour $x\in\R$, $f'(x)=2x+2$. L'équation de la tangente satisfait : \[ \calt_a : y=f'(a)(x-a)+f(a) \] Ici, on a donc : \[ \calt_a : y=(2a+2)(x-a)+a^2+2a+1 \] Et donc en arrangeant : \[\calt_a : y=(2a+2)x-a^2+1\] \item \begin{align*} A(0;-1)\in \calt_a &\ssi -a^2+1=-1\\ &\ssi a^2=2 \\ &\ssi a=\sqrt{2} \text{~~~ou~~~~} a=-\sqrt{2} \end{align*} % Les équations des tangentes sont alors : % \[y=(2\sqrt{2}+2)x-1 \text{~~~et~~~~} y=(-2\sqrt{2}+2)x-1 \] \end{enumerate} \end{corrige} \end{exercice} \begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\ \begin{minipage}{10cm} Soit $f(x)=x^3-2x^2-3x$ définie $\R$. \begin{enumerate} \item Déterminer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ et étudier son signe. \item Dresser le tableau de variation de $f$. {\itshape Vous ne donnerez pas la valeur exacte des extremums locaux mais une valeur approchée à $10^{-2}$.} \item On a représenté $f$ sur le graphe ci-contre. \begin{enumerate} \item Déterminer l'équation de la tangente $\calt$ à $\calc$ au point d'abscisse 0 puis tracez-la. \item Il semble qu'il existe une autre tangente à $\calc$ parallèle à $\calt$. Déterminer son équation ainsi que son point de contact. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hspace{1cm} \begin{minipage}{5cm} \begin{mplibcode} u:=.5cm; repere(-4,4,1.2 u,-7,2,1u); draw quadrillage(1,1) withcolor 0.7white dashed evenly; % draw axesn(1,1); % ne met pas le 0 à l'origine % draw axexn(2,2) withpen pencircle scaled 1.2; % draw axeyn(2,2) withpen pencircle scaled 1.2; draw axesn(2,2) withpen pencircle scaled 0.5; % draw cadre withpen pencircle scaled 2; vardef f(expr x)=x**3-2*x*x-3*x enddef; path Cf; Cf=courbefonc(f,-4,4,60); draw Cf couleur rouge withpen pencircle scaled 1; draw tangente(Cf,0) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8; draw tangente(Cf,1.333) couleur bleu withpen pencircle scaled 0.8; marquepointcourbe(Cf,0,1.333); fin; \end{mplibcode} \end{minipage} \begin{corrige} \begin{enumerate} \item On a pour $x\in\R$ \[f'(x)=3x^2-4x-3\]. $f'(x)$ est une expression de degré 2, cherchons son signe : $\Delta=52=(2\sqrt{13})^2$, et les racines sont $x_1=\dfrac16 (4+2\sqrt{13})=\dfrac13 (2+\sqrt{13})\approx 1,87$ et $x_2=\dfrac13 (2-\sqrt{13})\approx -0,54$. On déduit donc le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$. \medskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5} { $\mI$ , $ \approx-0.87$, $\approx 1.54$ ,$\pI$} { , + , z , - , z , + } { -/, +/$\approx 0.88$ , -/$\approx -6.06$ , +/ } \end{tikzpicture} \end{center} \item Voir question précédente. \item \begin{enumerate} \item Par propriété, la tangente a pour équation : $\calt : y=f'(0)(x-0)+f(0)$. Ici, $f(0)=0$, $f'(0)=-3$. Donc \[\calt: y=-3x\]. \item On cherche une tangente parallèle à $\calt$, soit $a$ l'abscisse du point de contact et $\calt_a$ cette nouvelle tangente. On a : \begin{align*} \text{$\calt_a$ parallèle à $\calt$} &\ssi \text{$\calt_a$ et $\calt$ ont même coefficient directeur} \\ &\ssi f'(a)=-3\\ &\ssi 3a^2-4a-3=-3\\ &\ssi 3a^2-4a=0\\ &\ssi a(3a-4)=0\\ &\ssi \text{$a=0$ ou $a=\dfrac{4}{3}$} \end{align*} $a=0$ correspond à $\calt$ et $a=\dfrac{4}{3}$ correspond à la nouvelle tangente. Son équation est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Avec $a=\dfrac{4}{3}$, $f'(a)=-3$ et $f(a)=(\dfrac{4}{3})^3-2(\dfrac{4}{3})^2-3\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{27}(64-32.3-4.27)=-\dfrac{140}{27}$. Alors $y=-3(x-\dfrac{4}{3}) -\dfrac{140}{27}$ ce qui nous donne : \[ \calt_{\frac{4}{3}} : y=-3x-\dfrac{32}{27} \] On peut observer que ceci est cohérent avec le dessin. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{corrige} \end{exercice} \newpage \begin{exercice}[(4 points)] On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $D=]0 ; +\infty [$ par : \[f(x)=x+\dfrac{2}{x}\] On admet que $f$ est dérivable sur $D$. \begin{enumerate} \item Après avoir calculer la dérivée de $f$, dresser le tableau de variations de $f$ sur $D$. \item Donner l'équation de la tangente $\calt$ en $x=1$. \item Résoudre $f(x)=2x$. \item Représenter la tangente $\calt$, calculer $f(3), f(4)$ et compléter le graphe de $f$ dans le repère suivant. \end{enumerate} \begin{corrige} \begin{enumerate} \item Pour $x>0$, on a $f'(x)=1-\dfrac{2}{x^2}$. On cherche le signe de $f'(x)$ et pour cela on résout : \begin{align*} f'(x)>0 &\ssi 1-\dfrac{2}{x^2}>0\\ &\ssi \dfrac{2}{x^2}<1\\ &\ssi \dfrac{x^2}{2}<1 ~~~~~~~\text{(Par application de la fonction inverse qui décroissante sur $D$)}\\ &\ssi x^2<2\\ &\ssi x\in]-\sqrt{2};\sqrt{2}[ ~~~~~~~\text{(La fonction carré est une fonction de référence)} \end{align*} On déduit alors le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$. \bigskip \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5}{$0$,$\sqrt{2}$,$+\infty$} \tkzTabLine{d , - , z , + } \tkzTabVar{ D+ / , -/$2\sqrt{2}$ , +/ } \end{tikzpicture} \end{center} On a calculé ici $f(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. \item Par propriété, la tangente a pour équation : $ y=f'(1)(x-1)+f(1)$. Ici, $f(1)=3$ et $f'(1)=-1$ donc $\calt : y=-(x-1)+3$. \[ \calt : y=-x+4 \] \item \begin{align*} x+\dfrac{2}{x}=2x &\ssi x^2=2 \\ &\ssi \text{$x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$ (refusée car $x>0$)}. \end{align*} \item $f(3)=\dfrac{11}{3}\approx 3,6666$ ; $f(4)=4,5$ et ceci permet de compléter le graphe. \end{enumerate} \begin{center} \begin{mplibcode} u:=0.5cm; repere(-0.5,10 ,1u,-1,7,u); vardef f(expr x)=x+2/x enddef; % vardef g(expr x)=0-x**2-x+3 enddef; path Cf,Cg; Cf=courbefonc(f,0.01,10,100); Cg=courbefonc(f,6,10,100); draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8white dashed evenly; draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8; %draw axex(1,1); %draw axey(1,1); draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor red; draw Cg withpen pencircle scaled 1 withcolor red; draw tangente(Cf,1) couleur vert withpen pencircle scaled 0.8; % nomme(Cf); % nomme(Cg); % draw cadre withpen pencircle scaled 1; fin; \end{mplibcode} \end{center} \begin{remarque} Pour avoir le signe de $f'(x)$, on peut aussi constater que $f'(x)=\dfrac{x^2-2}{x^2}$ et faire un tableau de signe. \end{remarque} \end{corrige} \end{exercice} \begin{exercice}[(4 points)]$\ $\\ \begin{minipage}{13cm} Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-x^3-3x^2+9x+27$. \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation (on ne demande pas les limites). \item Soient $\calp$ la parabole d'équation $y=9-x^2$ dont une représentation est donnée ci-contre. On note $A(-3;0), B(3;0)$ et pour $x \in ]0,3[$ on note $M$ et $N$ les points de $\calp$ d'abscisses respectives $x$ et $-x$. On considère le trapèze $ABMN$. \begin{enumerate} \item Complétez la figure avec $x=2$. \item {\it Rappel : Aire du trapèze = $\ds\frac{\text{(petite base + grande base)}\times\text{hauteur}}{2}$}. Désormais $x\in ]0,3[$, déterminer l'expression de l'aire $\cala(x)$ du trapèze $ABMN$ en fonction de $x$. \item Déduire des questions précédentes la valeur de $x$ pour laquelle cette aire est maximale. Quelle est alors cette aire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hspace{1cm} \begin{minipage}{5cm} \begin{mplibcode} u:=.5cm; repere(-4,4,1.2 u,-1,10,1u); draw quadrillage(1,1) withcolor 0.7white dashed evenly; % draw axesn(1,1); % ne met pas le 0 à l'origine draw axesn(2,2) withpen pencircle scaled 0.5; % draw cadre withpen pencircle scaled 2; vardef f(expr x)=9-x*x enddef; path Cf; Cf=courbefonc(f,-4,4,60); draw Cf couleur rouge withpen pencircle scaled 1; draw (-3,0)--(-2,5)--(2,5)--(3,0)--(-3,0) withcolor blue withpen pencircle scaled 1.5; fin; \end{mplibcode} \end{minipage} \begin{corrige} \begin{enumerate} \item Pour $x\in\R$ : \begin{align*} f'(x)&=-3x^2-6x+9 \\ &=-3(x^2+2x-3) \\ &= -3(x+3)(x-1) ~~~~~~~~\text{(car 1 est racine évidente)} \end{align*} On déduit donc le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTab[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2.5} {$\mI$ ,$-3$,$1$,$\pI$ } { , - , z , + , z , - } { +/ , -/$0$ , +/$32$ , -/ } \tkzTabVal{2}{3}{0.5}{0}{27} \tkzTabVal{3}{4}{0.5}{3}{0} \end{tikzpicture} \end{center} Où on a calculé : $f(-3)=0$ et $f(1)=33$. \item La longueur des bases du trapèze sont donc $L=6$ et $\ell=2x$, la hauteur est $9-x^2$ (le trapèze est dans la parabole). On a alors : \begin{align*} \mathcal{A}(x)&=\dfrac{(6+2x)(9-x^2)}{2}\\ &=27+9x-3x^2-x^3\\ &=f(x) \end{align*} \item Alors sachant que $x\in[0;3]$, on observe à l'aide du tableau de variation de $f$ que l'aire est minimale pour $x=3$ et maximale pour $x=1$. Elle vaut alors $32 u.a.$ \end{enumerate} \end{corrige} \end{exercice} % % \begin{exercice}%[(7 points)] % On considère la fonction $f$ définie sur $\R^+$ par : \[ f(x)=\dfrac{1}{x^2-x+1} \] % On appelle $\calc_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. % % On considère un point $M$ d'abscisse $x$ appartenant à la courbe $\calc_f$ et on construit comme l'indique la figure ci-dessous un rectangle de sommets $O$ et $M$ et dont les côtés sont parallèles aux axes. % \begin{center} % \begin{mplibcode} % % beginfig(1); % repere.orth(-0.5,4,7cm,-0.5,1.5); % vardef f(expr x) = 1/((x**2)-x+1) enddef; % settout(0,4,0,1.5); % pair M; % numeric t; % t=1.4; % M=_c(t,f(t)); % nomme.urt(M); % fill (_c(0,0)--_c(0,f(t))--M--_c(t,0)--cycle) withcolor grisclair; % draw quadrillage(1,1); % draw axes(1,1); % path C; % C=courbefonc(f,0,4,60); % draw C epaisseur 1 couleur 0.5bleu; % nomme.urt(C,3.2,LaTeX("$\calc_f$")) couleur 0.5bleu; % draw projectionaxes(M) dashed evenly epaisseur 1 couleur violet; % fin; % % endfig; % \end{mplibcode} % \end{center} % On note $A(x)$ l'aire de ce rectangle en fonction de $x$. % \begin{enumerate} % \item Donner l’expression de la fonction $A$. % \item Étudier les variations de $A$. % \item Déterminer la position du point $M$ afin que l'aire du rectangle soit maximale. % \end{enumerate} % \end{exercice} \end{document}