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\setboolean{solution}{true}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 8}  : Suites (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{30 janvier 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(6 points)]
La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 20\,\% chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve $100$ individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l'effectif de la population au début de l'année $2020 + n$.

On admet que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte \np{2000} individus, ainsi $u_0 = \np{2000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence:
\[u_{n+1} = 0,8u_n + 100.\]

\begin{corrige}
Chaque année, la population diminue de 20\%, donc elle est multipliée par $1 - 0,2 = 0,8$. 
À cette diminution s'ajoutent 100 individus réintroduits en fin d'année. 
Ainsi, au début de l'année suivante ($u_{n+1}$), on a :
\[u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 100\]
\end{corrige}

\item Calculer $u_1$ puis $u_2$.

\begin{corrige}
\[u_1 = 0,8 \times 2000 + 100 = 1600 + 100 = 1700\]
\[u_2 = 0,8 \times 1700 + 100 = 1360 + 100 = 1460\]
\end{corrige}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - \np{500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
		
\begin{corrige}
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= u_{n+1} - 500 \\
&= (0,8u_n + 100) - 500 \\
&= 0,8u_n - 400 \\
&= 0,8(u_n - 500) \\
&= 0,8v_n
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ avec

$v_0 = u_0 - 500 = 2000 - 500 = 1500$.
\end{corrige}

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = \np{500} \left(1 + 3\times0,8^n\right)$.

\begin{corrige}

 $(v_n)$ est géométrique donc par propriété pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[v_n = v_0 \times q^n = 1500 \times 0,8^n\]
Ainsi :
\begin{align*}
u_n &= v_n + 500 \\
&= 1500 \times 0,8^n + 500 \\
&= 500 \times (3 \times 0,8^n + 1) \\
&= 500(1 + 3 \times 0,8^n)
\end{align*}
\end{corrige}

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

\begin{corrige}
On a  $-1 < 0,8 < 1$, donc par théorème $\limite{n}{\pI} 0,8^n = 0$.

Alors par produit et somme on obtient :

\[\limite{n}{\pI} u_n = 500(1 + 3 \times 0) = 500\]
Interprétation : À long terme, la population se stabilisera autour de 500 individus malgré les réintroductions annuelles de 100 individus.
\end{corrige}
	\end{enumerate}

% \item {\bf Ne pas traiter cette question.}
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}[(3 points)]
On empile des allumettes de la façon indiquée sur la figure.

On note $v_n$ le nombre d'allumettes sur la $n\text{ème}$ rangée. On a donc $v_1=3$.

\begin{enumerate}
 \item Établir une relation de récurrence et déterminer la nature de la suite $(v_n)$.

\begin{corrige}
En observant la figure :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item Rangée 1 : 3 allumettes
\item Rangée 2 : 7 allumettes
\item Rangée 3 : 9 allumettes
\end{enumerate}

On constate qu'on ajoute 4 allumettes à chaque nouvelle rangée.
Donc pour tout $n \geq 1$ :
\[v_{n+1} = v_n + 4\]
$(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 4$ avec $v_1 = 3$.
\end{corrige}

 \item Écrire $v_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Pour une suite arithmétique, pour tout $n\geq 1$ : $v_n = v_1 + (n-1)r$
\[v_n = 3 + 4(n-1)  = 4n -1\]
\end{corrige}

 \item Quel est le nombre d'allumettes nécessaires pour faire un empilement de 40 rangées ?

\begin{corrige}
Le nombre total d'allumettes pour $n$ rangées est :
\[S_n =  v_1 + v_2 +\cdots+v_n\]

et $(v_n)$ est une suite arithmétique donc par théorème :
\[S_n= \dfrac{1}{2}(v_1 + v_n) \times n\]
Pour $n = 50$ :
\[v_{50} = 4 \times 50 - 1 = 199\]
\[S_{50} = \dfrac{1}{2}(3 + 199) \times 50 = \dfrac{202 \times 50}{2} = \dfrac{20200}{4}  = 5050\]
Il faut 5050 allumettes.
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
Une suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n}{3u_n+1}
\end{cases}
\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ définie pour $n\in\N$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ est arithmétique.

\begin{corrige}
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ où $u_n \neq 0$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= \frac{1}{u_{n+1}} \\
&= \frac{1}{\frac{u_n}{3u_n+1}} \\
&= \frac{3u_n+1}{u_n} \\
&= 3 + \frac{1}{u_n} \\
&= v_n + 3
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est arithmétique de raison $r = 3$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0}=\dfrac12$.
\end{corrige}

\item Déterminer alors $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
Par propriété des suites arithmétiques : $v_n = v_0 + nr = \dfrac{1}{2} + 3n$.
Donc :
\[u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{\frac{1}{2} + 3n} = \frac{1}{\frac{1+6n}{2}} = \frac{2}{1+6n}\]
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(2 points)]
On définit pour $n\in \N$
\[
S_n=\sum_{k=0}^{n} \left(\dfrac{3}{4}\right)^k
\]
C'est-à-dire
\[
S_n=1+ \left(\dfrac{3}{4}\right) + \left(\dfrac{3}{4}\right)^2 +\cdots + \left(\dfrac{3}{4}\right)^n.
\]

\begin{enumerate}
\item Donner une expression de $S_n$ en fonction de $n$.

\begin{corrige}
On a la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $q = \frac{3}{4}$, donc par théorème :
\[S_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}}{\frac{1}{4}} = 4\left[1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}\right]\]
\end{corrige}

\item Déterminer $\limite{n}{\pI}S_n$.

\begin{corrige}
Comme $-1 < \frac{3}{4} < 1$, on a $\limite{n}{\pI} \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} = 0$.
Donc :
\[\limite{n}{\pI} S_n = 4(1 - 0) = 4\]
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(4 points)]
On considère la fonction $f$ définie pour $x>-3$ par
\[
f(x)=\dfrac{2x^2+4x-3}{x+3}
\]

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = \dfrac{3}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

\begin{enumerate}
\item Sur la figure, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, représentez sur l'axe des abscisses les termes $u_0,~u_1$ et $u_2$.


\item Quelle conjecture pouvez faire sur les variations et la limite de la suite $(u_n)$ ?



\bigskip

\begin{center}
\begin{mplibcode}
 u:=1.8cm;
repere(-2,6 ,1u,-2,5,1u);
vardef f(expr x)=((x)**2+(x)**2+4x-3)/(x+3) enddef;
vardef g(expr x)=x enddef;
path Cf,D,T;

Cf=courbefonc(f,-2,4,100);
D=courbefonc(g,-6,6,100);
T=droite(5/3,-1);
draw quadrillage(1,1) withcolor 0.8white dashed evenly;
draw axesn(0.5,1) withpen pencircle scaled 0.8;
%draw axex(1,1);
%draw axey(1,1);
suite_nom:="u";
suite_affy:=false;
suite_styleproj:="withcolor 0.5green";
draw Suiterec(f,0,4,1.5) withcolor 0.5green;

draw Cf withpen pencircle scaled 1 withcolor red;
draw D withpen pencircle scaled 1 withcolor blue;
draw T withcolor 0.5red;

nomme(T)  withcolor 0.5red;
nomme(Cf)  withcolor red;
nomme(D)  withcolor blue;
% draw cadre withpen pencircle scaled 2;
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

\begin{corrige}
Méthode graphique :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item $u_0 = 1,5$ sur l'axe des abscisses. Alors  $u_1 = f(u_0)$, et on reporte sur l'axe des abscisses avec $\cald$.
\item  Même méthode pour $u_2$ à partir de $u_1$.
\end{enumerate}

Conjecture : La suite $(u_n)$ semble croissante et $\limite{n}{\pI}u_n=\pI$.
\end{corrige}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour $x>-3$, déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.

\begin{corrige}
On utilise la formule de dérivée d'un quotient :  Pour $x>-3$ :
\begin{align*}
 f'(x) &= \frac{(4x+4)(x+3) - (2x^2+4x-3)\times 1}{(x+3)^2}\\
 &= \frac{4x^2+12x+4x+12 - 2x^2 - 4x + 3}{(x+3)^2}
 &= \frac{2x^2+12x+15}{(x+3)^2}
\end{align*}

\end{corrige}

\item Soit $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. Déterminer l'équation de $\mathcal{T}$ puis la tracer sur le graphique.

\begin{corrige}
On a $\calt : y = f'(0)(x-0) + f(0)$

\medskip
avec  $f(0) = \frac{-3}{3} = -1$ et $f'(0) = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$

\medskip
Donc
\[ \calt : y = \frac{5}{3}x - 1\]
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
