\documentclass[10pt]{article} \input{Preambule-lua.tex} \usepackage{calligra} \geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm} \setboolean{solution}{true} % \setboolean{solution}{false} \begin{document} \pagestyle{empty} \devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 10} : Suites (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{4 février 2026}} \setlength{\columnseprule}{.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \setcounter{exercice}{0} \begin{exercice}[(4 points)] % Asie Juin 2017 On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par: \[\left\{\begin{array}{l c l} u_0 &= &1 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n,\\ \: u_{n+1} &=& \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n. \end{array}\right.\] On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier naturel $n$,\: $v_n = (n + 1)u_n$. \medskip \parbox{0.42\linewidth}{ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A&B&C\\ \hline 1 &$n$ &$u_n$ &$v_n$\\ \hline 2 &0 & \np{1,00000}&\np{1,00000}\\ \hline 3 &1 & \np{0,25000} &\np{0,50000}\\ \hline 4 &2 &\np{0,08333} &\np{0,25000}\\ \hline 5 &3 &\np{0,03125} &\np{0,12500}\\ \hline 6 &4 &\np{0,01250} &\np{0,06250}\\ \hline 7 &5 &\np{0,00521} &\np{0,03125}\\ \hline 8 &6 &\np{0,00223} &\np{0,01563}\\ \hline 9 &7 &\np{0,00098} &\np{0,00781}\\ \hline 10 &8 &\np{0,00043} &\np{0,00391}\\ \hline 11 &9 &\np{0,00020} &\np{0,00195}\\ \hline \end{tabularx}} \begin{enumerate} \item La feuille de calcul ci-contre présente les valeurs des premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, arrondies au cent-millième. Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ ? \begin{corrige} Pour passer d'un terme au suivant, on utilise la formule de récurrence $u_{n+1} = \left(\dfrac{n+1}{2n+4}\right) u_n$. En notant que la valeur de $n$ est en colonne A, la formule en B3 (qui donnera $u_1$) doit être : \[\boxed{= \left(\dfrac{A3}{2*A2+4}\right) * B2}\] ou toute autre forme équivalente utilisant les références aux cellules A2, A3 et B2. \end{corrige} \item \begin{enumerate} \item Conjecturer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \begin{corrige} D'après le tableau, on a : $v_0 = 1$, $v_1 = 0,5$, $v_2 = 0,25$, $v_3 = 0,125$, $v_4 = 0,0625$. On peut conjecturer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac12$ et donc que \[v_n = \left(\dfrac12\right)^n.\] \end{corrige} \item Démontrer cette conjecture. \begin{corrige} On a pour tout $n\in\N$ : \begin{align*} v_{n+1} &= (n+2)u_{n+1}\\ &= (n+2) \times \dfrac{n+1}{2n+4} u_n\\ &= (n+2) \times \dfrac{n+1}{2(n+2)} u_n\\ &= \dfrac{n+1}{2} u_n\\ &= \dfrac12 (n+1) u_n\\ &= \dfrac12 v_n. \end{align*} Donc $(v_n)$ est bien géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $v_0 = (0+1)u_0 = 1$. Par propriété, on a donc pour tout $n\in\N$ : \[\boxed{v_n = 1\times \left(\dfrac12\right)^n = \left(\dfrac12\right)^n}\] \end{corrige} \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \begin{corrige} On a $u_n = \dfrac{v_n}{n+1} = \dfrac{1}{n+1} \times \left(\dfrac12\right)^n$. On a $-1<\dfrac12<1$ donc par propriété $\limite{n}{\pI} \left(\dfrac12\right)^n = 0$ De plus $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n+1} = 0$. Alors par produit de limites, on obtient : \[\boxed{\lim_{n\to +\infty} u_n = 0}\] \end{corrige} \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}[(3 points)] Pour $n\in\N^\star$, on pose : \[ S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{1\times 2}+\dfrac{1}{2\times 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)} \] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $k\geq 1$, on a : \[ \dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac{1}{k+1} \] \begin{corrige} Pour $k\ge 1$, on met l'expression de droite au même dénominateur : \[ \frac1k - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1)-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}. \] L'égalité est donc vérifiée. \end{corrige} \item En déduire une expression de $S_n$ en fonction de $n$. \begin{corrige} On utilise la relation précédente pour chaque terme de la somme. Il s'agit d'une somme télescopique : \begin{align*} S_n &= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)\\ &= \left(1 - \frac12\right) + \left(\frac12 - \frac13\right) + \left(\frac13 - \frac14\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right). \end{align*} Tous les termes se simplifient à l'exception du premier ($1$) et du dernier ($-\frac{1}{n+1}$). Ainsi : \[\boxed{S_n = 1 - \frac{1}{n+1}}\] \end{corrige} \item Déterminez $\limite{n}{\pI}S_n$. \begin{corrige} On a $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n+1} = 0$, donc par somme : \[\boxed{\lim_{n\to +\infty} S_n = 1}\] \end{corrige} \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice}[(13 points)] %Inspiré de bac S 2010 On considère la suite de nombres réels $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : \[u_{0} = - 1,~u_{1} = \dfrac{1}{2}~\text{et, pour tout entier naturel}~n,~ u_{n+2} = u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_{n}.\] \begin{enumerate} \item Calculer $u_{2}$. % et en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique. \begin{corrige} Pour $n=0$, la relation de récurrence donne : \[u_{2} = u_{1} - \frac{1}{4}u_{0} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \times (-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\] Ainsi $\boxed{u_2=\frac34}$. \end{corrige} \item On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[v_{n} = u_{n+1} - \dfrac{1}{2}u_{n}.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$. \begin{corrige} Pour tout $n\in\N$ : \begin{align*} v_{n+1} &= u_{n+2} - \frac12 u_{n+1} \\ &= \left(u_{n+1} - \frac14 u_n\right) - \frac12 u_{n+1} \\ &= \frac12 u_{n+1} - \frac14 u_n \\ &= \frac12 \left( u_{n+1} - \frac12 u_n \right) \\ &= \frac12 v_n. \end{align*} Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$. On a de plus $v_0 = u_1 - \frac12 u_0 = \frac12 - \frac12\times (-1) = \frac12 + \frac12 = 1$. \end{corrige} \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. \begin{corrige} Par propriété, pour tout $n\in\N$ : $v_n = v_0 \times \left(\dfrac12\right)^n$. \[\boxed{v_n = \left(\dfrac12\right)^n}\] \end{corrige} \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(w_{n}\right)$ en posant, pour tout entier naturel $n$ : \[w_{n} = \dfrac{u_{n}}{v_{n}}.\] \begin{enumerate} % \item Calculer $w_{0}$. \item En utilisant l'égalité $u_{n+1} = v_{n} + \dfrac{1}{2}u_{n}$, exprimer $w_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ et de $v_{n}$. \begin{corrige} On a $v_{n+1} = \frac12 v_n$. Donc : \begin{align*} w_{n+1} &= \frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \\ &= \frac{v_n + \frac12 u_n}{\frac12 v_n} \\ &= \frac{v_n}{\frac12 v_n} + \frac{\frac12 u_n}{\frac12 v_n} \\ &= 2 + \frac{u_n}{v_n}. \end{align*} \end{corrige} \item En déduire que pour tout $n$ de $\N,~ w_{n+1} = w_{n} + 2$. \begin{corrige} On a $\frac{u_n}{v_n} = w_n$, donc l'expression précédente devient : \[w_{n+1} = w_n + 2.\] \end{corrige} \item Quelle est la nature de $(w_n)$ ? Exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$. \begin{corrige} La relation $w_{n+1}=w_n+2$ montre que $(w_n)$ est une suite arithmétique de raison $2$. Son premier terme est $w_0 = \dfrac{u_0}{v_0} = \dfrac{-1}{1} = -1$. Par propriété, pour tout $n\in\N$ : $w_n = w_0 + n \times 2$. \[\boxed{w_n = -1 + 2n}\] \end{corrige} \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ \[u_{n} = \dfrac{2n- 1}{2^n}.\] \begin{corrige} On a $v_n = \left(\dfrac12\right)^n$ et $w_n = \dfrac{u_n}{v_n}$. Donc $u_n = w_n \times v_n$. \begin{align*} u_n &= (2n-1) \times \left(\dfrac12\right)^n \\ &= \frac{2n-1}{2^n}. \end{align*} Ce qui est bien la formule demandée. \end{corrige} % \item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} u_{k} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$. % % Démontrer par récurrence que pour tout $n$ de $\N$ : % % \[S_{n} = 2 - \dfrac{2n + 3}{2^n}.\] \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}