\documentclass[a4paper,french,12pt]{article}
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\usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
% \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
\setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
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% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devperslandscape{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 15}  : La totale (2h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (1ére) } }{\large \textcalligra{27 mai 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}


% \begin{multicols}{2}
\begin{exercice}[Automatismes  (6 points)] $\ $\\
 à rendre à part.
\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Dans le repère orthonormé ci-après figurent :
\begin{itemize}
    \item la courbe représentative $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ ;
    \item les points A et B de coordonnées respectives $(-2 \;;\; -2{,}5)$ et $(2 \;;\; 3{,}5)$ ;
    \item la droite (AB) tangente à $\mathcal{C}_h$ au point $C(0 \;;\; 0{,}5)$.
\end{itemize}

\begin{center}
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{Graphique.png}
\end{center}

\begin{enumerate}
    \item Déterminer $h(0)$ et $h'(0)$. Justifier.

    \begin{corrige}
    $C(0;0,5) \in \mathcal{C}_h$, donc $h(0)=0,5$.

    La droite $(AB)$ est tangente à $\mathcal{C}_h$ au point $C$, donc le nombre dérivé $h'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

    On calcule le coefficient directeur de $(AB)$ :
    \[
    h'(0) = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{3,5 - (-2,5)}{2 - (-2)} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.
    \]
    \end{corrige}

    \item On admet que $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
    \[
    h(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{-x} + x, \text{ où } a \text{ et } b \text{ sont deux réels.}
    \]
    Montrer que pour tout réel $x$ :
    \[
    h'(x) = (-ax + a - b)\mathrm{e}^{-x} + 1.
    \]

    \begin{corrige}
    En dérivant à l'aide de la formule du produit et en tenant compte du fait que $(\e^{-x})'=-\e^{-x}$, on a pour $x\in\R$ :

    \begin{align*}
    h'(x) &= a\e^{-x} + (ax+b)\times(-\e^{-x}) + 1 \\
    &= a\e^{-x} - ax\e^{-x} - b\e^{-x} + 1 \\
    &= (-ax + a - b)\e^{-x} + 1
    \end{align*}

    Et il s'agit bien de l'expression demandée.
    \end{corrige}

    \item En déduire les valeurs de $a$ et $b$ puis l'expression de $h$.

    \begin{corrige}
    On a :
    \begin{align*}
     h(0)=0,5 &\ssi (a\times0 + b)\e^{0} + 0=0,5 \\
            &\ssi b=0,5
    \end{align*}

    Ainsi $ b = \dfrac{1}{2}$.

    D'autre part :

     \begin{align*}
      h'(0)=\dfrac{3}{2}  &\ssi  (-a\times0 + a - b)\e^{0} + 1 = \dfrac{3}{2}\\
                         &\ssi  a - b + 1 = \dfrac{3}{2} \\
                         &\ssi a - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2}\\
                         &\ssi  a = 1
     \end{align*}



    Ainsi, $a=1$ et $b=\dfrac{1}{2}$, donc pour tout $x\in\R$ :
    \[
    h(x) = \left(x + \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x} + x.
    \]
    \end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[(3 points)]
  Julien doit prendre l'avion ; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.

S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol. Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.

S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.

\smallskip

On notera :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement : \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.

\begin{corrige}
On a d'après les données de l'énoncé et la loi des noeuds :

L'arbre pondéré est donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
    grow'=right, % Développe l'arbre vers la droite (le premier enfant va vers le haut)
    level 1/.style={sibling distance=2.5cm, level distance=3.5cm},
    level 2/.style={sibling distance=1.2cm, level distance=3.5cm},
    execute at begin node=\strut
]
% Racine de l'arbre
\node {}
    % Branche supérieure (B)
    child {
        node {$B$}
        child {
            node {$V$}
            edge from parent node[above, sloped] {$1$}
        }
        child {
            node {$\overline{V}$}
            edge from parent node[below, sloped] {$0$}
        }
        edge from parent node[above, sloped] {$0{,}2$}
    }
    % Branche inférieure (B barre)
    child {
        node {$\overline{B}$}
        child {
            node {$V$}
            edge from parent node[above, sloped] {$0{,}5$}
        }
        child {
            node {$\overline{V}$}
            edge from parent node[below, sloped] {$0{,}5$}
        }
        edge from parent node[below, sloped] {$0{,}8$}
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{corrige}

\medskip
\item Calculer la probabilité pour que Julien ait réussi à prendre son bus, et soit à l'heure à l'aéroport pour son vol.
\begin{corrige}
On cherche $P(B\cap V) = P(B) \times P_B(V) = 0,2 \times 1 = 0,2$.
\end{corrige}

\medskip
\item Calculer la probabilité pour que Julien soit à l'heure à l'aéroport pour son vol.
\begin{corrige}
On cherche $P(V)$. $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
P(V) &= P(B\cap V) + P(\overline{B}\cap V) \\
&= P(B)\times P_B(V) + P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(V) \\
&= 0,2\times 1 + 0,8\times 0,5 \\
&= 0,2 + 0,4 = 0,6.
\end{align*}
\end{corrige}

\medskip
\item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ?
\begin{corrige}
On cherche $P_V(B)$.

\[P_V(B) = \dfrac{P(B\cap V)}{P(V)} = \dfrac{0,2}{0,6} = \dfrac{1}{3}\].
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
  Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{itemize}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{itemize}

\medskip
À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\begin{corrige}
Le mois de février 2019 correspond à $n=1$ (un mois après janvier).
\[
u_1 = 0,9 u_0 + 42 = 0,9 \times 280 + 42 = 252 + 42 = 294.
\]
Donc $294$ voitures ont été louées en février 2019.
\end{corrige}

\medskip
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.
\begin{corrige}
Pour tout $n\in\N$ :
\begin{align*}
v_{n+1} &= u_{n+1} - 420 \\
&= (0,9 u_n + 42) - 420 \\
&= 0,9 u_n - 378 \\
&= 0,9 (u_n - 420) \quad\text{car } 0,9 \times 420 = 378\\
&= 0,9 v_n.
\end{align*}
Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,9$.

Son premier terme : $v_0 = u_0 - 420 = 280 - 420 = -140$.
\end{corrige}
\smallskip
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que $u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\begin{corrige}
Du fait que $(v_n)$ soit géométrique, on a : $ = v_0 \times q^n = -140 \times 0,9^n$.
\medskip

Ainsi $u_n = v_n + 420 = -140 \times 0,9^n + 420$.
\end{corrige}
\end{enumerate}
\medskip
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\begin{corrige}
On a $0 < 0,9 < 1$, donc par propriété  $\limite{n}{\pI} 0,9^n = 0$.

et par produit et somme, $\limite{n}{\pI} u_n = 420$.

Dans le contexte, le nombre de voitures louées chaque mois se rapprochera de $420$ à long terme.
\end{corrige}
\medskip
% \item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.
%
% \medskip
% \begin{minipage}{7cm}
% On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :
%
% \begin{center}
% \begin{tabular}{|p{4cm}|}
% \hline
% $N \leftarrow 0$\\
% $U \leftarrow 280$\\
% Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
% \hspace*{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
% \hspace*{1cm} $U\leftarrow \ldots\ldots\ldots$\\
% Fin Tant que\\
% \hline
% \end{tabular}
% \end{center}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{10cm}
% \begin{enumerate}
% \item Compléter l'algorithme.
% \smallskip
% \item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution
%
% de l'algorithme ?
% \smallskip
% \item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
% \end{enumerate}
% \end{minipage}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}[(4 points)]
 \noindent OABC et ODEF sont des carrés dont les côtés respectifs mesurent 3 et 2. OAMF est un rectangle. \\
On note H le projeté orthogonal du point M sur la droite (DC).

\medskip

\noindent On donne le repère orthonormé $\left(\text{O}, \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OA}}, \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OC}}\right)$.

% \begin{minipage}{0.3\textwidth}
\begin{center}
    % Décommentez la ligne ci-dessous pour insérer votre figure
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{Figure.png}
%     \textit{[Insérer la figure géométrique ici]}
\end{center}
% \end{minipage}
% \begin{minipage}{0.65\textwidth}
\begin{enumerate}
    \item Donner les coordonnées des points C, D et M.
    \begin{corrige}
    Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}, \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OA}}, \frac{1}{3}\overrightarrow{\text{OC}}\right)$, on a $A(3;0)$, $C(0;3)$.

    On a par lecture graphique :

    \[
    C(0;3),\quad D(-2;0),\quad M(3;-2).
    \]
    \end{corrige}
    \item La droite (OM) est-elle perpendiculaire à la droite (DC) ?
    \begin{corrige}
    On a  $\overrightarrow{OM}\cp{3}{-2}$ et $\overrightarrow{DC}\cp{2}{3}$. Alors :
    \[
    \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{DC} = 3\times(-2) + 2\times 3 = 0.
    \]
    Donc les vecteurs sont orthogonaux, et les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
    \end{corrige}

    \item Calculer $\overrightarrow{\text{CD}} \cdot \overrightarrow{\text{CM}}$.
    \begin{corrige}
    $\overrightarrow{CD}\cp{-2}{-3}$~~~~~~~~ (car$D(2;0)$, $C(0;3)$).
    $\overrightarrow{CM}\cp{3}{-5}$~~~~~~~~ (car $M(3;2)$, $C(0;3)$).

    \[
    \overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CM} = -2\times 3 + (3)\times(5) = 9.
    \]
    \end{corrige}
    \item En déduire la longueur CH.
    \begin{corrige}
    Le point \( H \) étant le projeté orthogonal du point \( M \) sur la droite \( (DC) \), d'après la propriété du produit scalaire par projection, on a :

\[\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CH}\]

Puisque \( H \) appartient à la droite \( (DC) \), les vecteurs \( \overrightarrow{CD} \) et \( \overrightarrow{CH} \) sont colinéaires. De plus, leur produit scalaire est positif (\( 9 > 0 \)), ils sont donc de même sens. Par conséquent :

\[\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CH} = CD \times CH \hfill~~~~~~~~~~~~~~~(\star)\]


D'autre part $\overrightarrow{CD}\cp{-2}{-3}$ et donc $CD^2=4+9=13$.

Donc en reprenant $(\star)$, il vient $9=\sqrt{13}CH$. et donc $CH=\dfrac{9}{\sqrt{13}}=\dfrac{9\sqrt{13}}{13}~~u.l.$.

    \end{corrige}
\end{enumerate}
% \end{minipage}
\end{exercice}

% \end{multicols}
\end{document}