\documentclass[a4paper,11pt,french]{article}

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\setmathfont{STIX Two Math}

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% Maths
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\usepackage{nicematrix}
\usepackage{simples-matrices}


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     input repere;
     }

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     \DecimalMathComma

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  \usepackage[%
       unicode,%
       pdftitle={Bac blanc LFB - 2025},%
       pdfauthor={LFB},
       colorlinks,%
       linkcolor=darkgray%
       ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
     \refstepcounter{exercice}
     \par
     \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
     \vspace{-0.7\baselineskip}
     \hrulefill
     \par\medskip}{\par\vspace{5\baselineskip}}


\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
       \refstepcounter{partie}
        \par \vspace{0.5ex}\noindent
       \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
       }\nopagebreak\par\medskip%
       }{\par\vspace{1em}}


\newpagestyle{BB}{
  \sethead{}% odd-left
   {}% odd-center
   {}% odd-right
  \setfoot{}% odd-left
   {}% odd-center
   {\thepage{}/\pageref{LastPage}}% odd-right
        }

\pagestyle{BB}


%%%% Python
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle =\ttfamily,
 language=Python,%
 frame=tblr,
 rulecolor=\color[gray]{0.6},
 numbers=left,
 numberstyle=\tiny,
 }




%%%%%% Commandes mathématiques
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\oij}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}\right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)}
\newcommand{\coord}[1]{\matrice[1]{#1}}
\newcommand{\limn}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}

%%%%% Intervalles
\usepackage{interval}
\intervalconfig{separator symbol={~;}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFF}{m m}{\interval[scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOF}{m m}{\interval[open left,scaled]{#1}{#2}}
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\NewDocumentCommand{\intervalleOO}{m m}{\interval[open,scaled]{#1}{#2}}
\newcommand{\oinf}{\intervalleOO{0}{+\infty}}

\newcommand{\nuple}[2][;]{\setsepchar{#1}
    \readlist\comp{#2}
    \left(
    \foreachitem\cc\in\comp{{\cc{}}\,{\compsep[\cccnt]}\,}%
    \!\!
    \right)}
\NewDocumentCommand{\tuple}{r()}{\nuple{#1}}


\newboolean{solution}

\NewTColorBox{corrigeboite}{O{}}{%
   breakable,
   enhanced,
   colframe=lightlightgray,
   colback=lightlightgray,
   coltext=black,
   title=Correction :,
   coltitle=black,
   fonttitle=\bfseries,
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   boxed title style={left=0pt,
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      colframe=white,
      colback=white,
   },#1
}


\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
{\ifthenelse{\boolean{solution}}
   {\par\medskip
      \begin{corrigeboite}[left=0pt]
  #1
      \end{corrigeboite}
      \par\medskip}
   {}
}
{}


\ifdefined\affsol
\setboolean{solution}{\affsol}
\else
\setboolean{solution}{false}
\fi




\begin{document}

\renewcommand{\euro}{\officialeuro}

\thiswatermark{\put(240,-350){%
     \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
     \rotatebox{45}{\color{lightlightgray}BAC BLANC}}}}%
     }


%\vfill
{\sffamily
\begin{center}

\begin{Large}
\textbf{BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\vspace{0.7\baselineskip}

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\vspace{0.7\baselineskip}

\textbf{SESSION 2025}
\end{Large}

\vspace{2\baselineskip}

\begin{LARGE}
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\end{LARGE}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{Large}
\textbf{Jour 1}
\end{Large}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{large}
Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}
\end{large}

\end{center}

\vfill

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

\vfill

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.

\vfill

\vfill

\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.}
}
\vfill

\vfill



\newpage

\begin{exercice}{4}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Remplir la feuille annexe selon les modalités expliquées ci-dessous :
\begin{itemize}
\item  \textbf{Ne pas oublier d'écrire nom, prénom et classe dans le cadre et de noircir le code personnel.}
\item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève aucun point.
\item  Noircir proprement, pour chaque question, la case correspondant à la bonne réponse. En cas d'erreur, effacer à l’aide de blanc correcteur en couvrant la case cochée par erreur.
Dans ce cas, ne pas reconstituer la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse.
\item \textbf{Ne pas glisser le qcm dans la copie mais le rendre séparément.}
\end{itemize}
\end{exercice}

\begin{exercice}{5}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\oinf$ par :
\[f(x) = x^2 - 6x + 4\ln (x)\]

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\oinf$.

On note $f$' sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

\begin{corrige}
$  \left.%
  \begin{aligned}
   \limo x^2-6x=0\\
   \limo \ln x=-\infty
  \end{aligned}
  \right\rbrace$
  donc, par somme, \fbox{$\limo f(x)=-\infty$.}
\end{corrige}

Interpréter graphiquement ce résultat.

\begin{corrige}
La droite d'équation $x=0$ est asymptote à $\mathcal{C}_f$.
\end{corrige}


  \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.

\begin{corrige}
Pour tout $x>0$, $f(x)=x(x-6)+4\ln x$

$  \left.%
  \begin{aligned}
  \left.%
  \begin{aligned}
   \limpinf x=+\infty\\
   \limpinf x-6=-\infty
  \end{aligned}
  \right\rbrace
  \text{ donc, par produit, }\limpinf x(x-6)=+\infty\\
  \limpinf 4\ln x=+\infty
  \end{aligned}
  \right\rbrace$
  donc \fbox{$\limpinf f(x)=+\infty$.}

\end{corrige}

 \end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $\oinf$.

  \begin{corrige}
  $f$ est dérivable sur $\oinf$ et, pour tout $x\in\oinf$ :
  \[ f'(x)=2x-6+\frac{4}{x}=\frac{x(2x-6)+4}{x}=\boxed{\frac{2x^2-6x+4}{x}} \]
  \end{corrige}

  \item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\oinf$.

En déduire le tableau de variations de $f$.
\begin{corrige}
Sur $\oinf$, $x>0$, $f'(x)$ est donc du signe de $n(x)=2x^2-6x+4$ qui est une fonction polynôme du second degré dont les racines sont $1$ et $2$ (les calculs sont à faire...) et dont le coefficient de $x^2$ est $2>0$.

On en déduit (après calcul de $f(1)$ et $f(2)$) le tableau ci-dessous :
   \begin{center}
   \small
   \begin{tikzpicture}
   \tikzset{t style/.style = dashed}
   \tkzTabSetup[doubledistance=2pt]
   \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
   \tkzTabInit[espcl=3,
               lgt=2,
               deltacl=0.5]
   {$x$ /0.7,
   Signe de\\ $f'(x)$ /1.1,
   Variations\\ de $f$ /2}
   {$0$,$1$,$2$,$+\infty$}
   \tkzTabLine{d,+,z,-,z,+, }
   \tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$-1$,-/$-8+4\ln 2$,+/$+\infty$}
   \end{tikzpicture}
   \end{center}


\end{corrige}

 \end{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervalleFF{4}{5}$.

\begin{corrige}
\begin{NiceTabular}{l\}}
$f$ est dérivable donc continue sur $\intervalleFF{4}{5}$\\
$f$ est strictement croissante sur $\intervalleFF{4}{5}$\\
$f(4)\approx -2,45 $ et $f(5)\approx 1,44$ donc $0\in\intervalleFF{f(4)}{f(5)}$
\end{NiceTabular}
\parbox{0.45\linewidth}{donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\intervalleFF{4}{5}$.}
\end{corrige}

\item On admet que, pour tout $x$ de $\oinf$, on a :
\[f''(x) = \dfrac{2x^2 - 4}{x^2}\]

 \begin{enumerate}
  \item \label{conv} Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\oinf$.

On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

\begin{corrige}
Pour étudier la convexité de $f$, on étudie le signe de $f''(x)$.

Pour tout $x\in\oinf$, $x^2>0$. $f''(x)$ est donc du signe de $m(x)=2x^2-4$ qui est une fonction polynôme du second degré dont les racines sont $-\sqrt{2}$ (pas dans l'intervalle) et $\sqrt{2}$ et dont le coefficient de $x^2$ est $2>0$.


On en déduit  le tableau ci-dessous :
   \begin{center}
   \small
   \begin{tikzpicture}
   \tikzset{t style/.style = dashed}
   \tkzTabSetup[doubledistance=2pt]
   \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
   \tkzTabInit[espcl=3,
               lgt=2,
               deltacl=0.5]
   {$x$ /0.7,
   Signe de\\ $f''(x)$ /1.1}
   {$0$,$\sqrt{2}$,$+\infty$}
   \tkzTabLine{d,-,z,+, }
   \end{tikzpicture}
   \end{center}

Conclusion : \fbox{$f$ est concave sur $\intervalleOF{0}{\sqrt{2}}$ et convexe sur $\intervalleFO{\sqrt{2}}{+\infty}$.}

$f''$ s'annule et change de signe en $\sqrt{2}$ donc $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion $I$ pour $x=\sqrt{2}$. $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+4\ln\sqrt{2}$. Ainsi \fbox{$I\nuple{\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+4\ln\sqrt{2}}$}
\end{corrige}

  \item On note $A$ le point de coordonnées $\nuple{\sqrt 2;f(\sqrt 2)}$.

Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t \ne \sqrt 2$. Soit $M$ le point de coordonnées $\nuple{t;f(t)}$.

En utilisant la question \ref{conv}, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Pour $k\in\intervalleOO{0}{\sqrt{2}}$, $[AM_k]$ est une corde de la courbe d’une fonction concave donc $[AM_k]$ est en dessous de $\mathcal{C}_f$.
\item  Pour $k\in\intervalleOO{\sqrt{2}}{+\infty}$, $[AM_k]$ est une corde de la courbe d’une fonction convexe donc $[AM_k]$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
\end{itemize}
\end{corrige}

 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\newpage

\begin{exercice}{5}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$ par
\[f(x) = 2x\e^{-x}\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
  \item Résoudre sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$ l'équation $f(x) = x$.
  \begin{corrige}
  $ \begin{aligned}  f(x) = x &\iff 2x \e^{-x} = x
  \iff 2x \e^{-x} - x = 0
  \iff x(2\e^{-x}-1) = 0\\
  &\iff x = 0 \quad \text{ ou } \quad 2\e^{-x} - 1 = 0
  \iff x = 0 \quad \text{ ou } \quad 2\e^{-x} = 1\\
  &\iff x = 0 \quad \text{ ou } \quad \e^{-x} = \frac{1}{2}
  \iff x = 0 \quad \text{ ou } \quad -x = \ln\left(\frac{1}{2}\right) \\
  &\iff x = 0 \quad \text{ ou } \quad x = \ln(2)
  \end{aligned}$

  \medskip
  \fbox{$\mathcal{S}=\left\{0;\ln(2)\right\}$}
  \end{corrige}

  \item Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$,
  \[f'(x) = 2(1 - x)\e^{-x}\]

  \begin{corrige}
  $f$ est dérivable sur $\intervalleFF{0}{1}$, en tant que composée et produit de fonctions dérivables.

  $\forall x \in \intervalleFF{0}{1}$, $f'(x) = 2 \times \e^{-x} + (2x) \times (-\e^{-x})
   = (2 - 2x)\e^{-x} = \boxed{2(1 -x)\e^{-x}}$.

  \end{corrige}

  \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$.

  \begin{corrige}
  Pour tout $x\in\intervalleFF{0}{1}$, $2\e^{-x}>0$. $f'(x)$ est donc du signe de $1-x$ qui est une fonction affine qui s'annule en $1$ et de coefficient directeur $-1$.

  On en déduit le tableau ci-dessous :
 \begin{center}
   \begin{tikzpicture}
    \tkzTabColors[backgroundcolor=lightlightgray]
     \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.8,Signe de $f'(x)$/0.8,Variations de $f$/2}{0,1}
     \tkzTabLine{,+,z}
     \tkzTabVar{-/0,+/$2\e^{-1}$}
   \end{tikzpicture}
       \end{center}
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
 \end{enumerate}

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\]

\begin{enumerate}[resume]
\item
 \begin{enumerate}
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel,
  \[0 \leqslant u_n < u_{n+1} \leqslant 1\]

      \begin{corrige}
       \begin{itemize}[itemsep=1ex]
       \item Initialisation : On a $u_0=0,1$ et $u_1=0,2\e^{-0,1} \approx 0,18$ donc $0\leqslant u_0<u_1\leqslant1$.

       L'inégalité est vraie pour $n=0$.

       \item Hérédité : Soit $p\in\N$. Supposons $0 \leqslant u_{p} < u_{p+1} \leqslant 1$.

       $f$ est  strictement croissante sur $\intervalleFF{0}{1}$ donc $f(0)\leqslant f(u_{p})<f(u_{p+1})\leqslant f(1)$

       ainsi $0\leqslant u_{p+1}<u_{p+2}\leqslant 2\e^{-1}\leqslant 1$.

       La propriété est héréditaire.

        \item Conclusion : \fbox{Pour tout $n\in\N$, $0 \leqslant u_n <u_{n+1} \leqslant 1 $.}
       \end{itemize}

      \end{corrige}

  \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

 \begin{corrige}
 D'après la question précédente, $(u_n)$ est croissante et majorée par $1$ donc \fbox{$(u_n)$ est convergente.}
 \end{corrige}

 \end{enumerate}

\item Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln (2)$.

  \begin{corrige}
  La suite $(u_n)$ est définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ et on sait que :

\begin{NiceTabular}{l\}}
$(u_n)$ est convergente \\
$f$ est continue sur $\intervalleFF{0}{1}$
\end{NiceTabular}
   On en déduit que la limite $\ell$ de $(u_n)$ est solution de l'équation $f(x)=x$.

Cette équation admet deux solutions sur $\intervalleFF{0}{1}$ : $0$ et $\ln 2$.

Or $(u_n)$ est croissante et $u_0=0,1$ donc $\ell\geqslant0,1$. Ainsi $\ell\neq0$.

Conclusion : \fbox{$\limn u_n=\ln(2)$}
  \end{corrige}


\item
 \begin{enumerate}
  \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln (2) - u_n$ est positif.

  \begin{corrige}
  La suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ln(2)$. On peut donc affirmer que pour tout $n\in\N$, $u_n\leqslant\ln(2)$.

  On en déduit que \fbox{pour tout $n\in\N$, $\ln(2)-u_n\geqslant0$.}
  \end{corrige}

  \item On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d'étapes pour y parvenir.

Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu'il réponde au problème posé.

\newcommand{\codei}{\ifthenelse{\boolean{solution}}{\textcolor{blue}{>}}{...}}
\newcommand{\codeii}{\ifthenelse{\boolean{solution}}{\textcolor{blue}{2*u*exp(-u)}}{...}}
\begin{center}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{lstlisting}[escapechar=!]
def seuil():
    n = 0
    u = 0.1
    while ln(2) - u !\codei! 0.0001:
        n = n + 1
        u = !\codeii!
    return (u, n)
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

  \item Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction \lstinline|seuil()|.

  \begin{corrige}
  En calculant les termes successifs à la calculatrice (ou en faisant tourner le programme ci-dessous), on trouve : \fbox{$n=11$}
  \end{corrige}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\newpage



\begin{exercice}{6}
Une maison est constituée d'un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.

Cette maison est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(0,15,1cm,-1,6,1cm);
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,R,i,j,k,M,L;
A=(1.9,0.4);B=(7.9,0.8);D=(0.5,1.5);E=(1.9,2.3);
i=(B-A)/3;j=(D-A)/2;k=E-A;
C=A+3i+2j;
F=B+k;G=C+k;H=D+k;
R=(11.6,0.3);
I=(4.9,4.4);J=(3.4,5.5);
L=0.5[B,C];
M=whatever[B,F]=whatever[L,R];
drawoptions(epaisseur 1);
draw A--B--F--E--H--D--A--E;
draw F--G;
draw B--C--D dashed evenly;
draw C--G--H dashed evenly;
draw E--I--F;
draw G--J--H;
draw I--J;
draw L--M dashed evenly;
draw R--M;
draw vecteur.bot(A,i) epaisseur 2;
draw vecteur.llft(A,j) epaisseur 2;
draw vecteur.lrt(A,k) epaisseur 2;
marque_p:="";
nomme.llft(A);nomme.lrt(B);nomme[30](C);nomme.lft(D);
nomme[95](E);nomme.rt(F);nomme.urt(G);nomme.lft(H);
nomme.bot(I);nomme.top(J);nomme.urt(R);
fin;
\end{mplibcode}

\end{center}

On a  $AB= 3$,\quad  $AD= 2$,\quad  $AE= 1$.

On définit les vecteurs $\vect{\imath}= \dfrac{1}{3}\vect{AB},\:\vect{\jmath}= \dfrac{1}{2}\vect{AD}, \:\vect{k} = \vect{AE}$.

On munit ainsi l'espace du repère orthonormé $\left(A~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées du point $G$.

\begin{corrige}
On a $\vect{AG} = \vect{AB} + \vect{AD} + \vect{AE} = 3\vect{\imath} + 2\vect{\jmath} + \vect{k}$. On a donc \fbox{$G\tuple(3;2;1)$.}
\end{corrige}

\item Le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\nuple{2;0;-3}$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.

\begin{corrige}
 $\vect{n}\nuple{2;0;-3}$ est normal à $(EHI)$ donc une équation cartésienne de $(EHI)$ est de la forme :

 $2x-3z+d=0$.

 De plus $E\in(EHI)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation.

 On a donc : $2x_E-3z_E+d=0$ donc $2\times0-3\times1+d=0$ soit $d=3$

 \fbox{Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est : $2x-3z+3=0$.}
\end{corrige}

\item Déterminer les coordonnées du point $I$.

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item $I$ est un point du plan $(ABE)$ donc $y_I=0$.

\item $EIF$ est un triangle isocèle en $I$ donc le projeté orthogonal de $I$ sur $[EF]$ est le milieu de $[EF]$. Ainsi $x_I=\frac{3}{2}$.
\item $I\in(EHI)$ donc ses coordonnées vérifient l'équation du plan. On a donc $2x_I-3z_I+3=0$. On en déduit $2\times\frac{3}{2}-3z_I+3=0$ et donc $z_I=2$.
\end{itemize}

Conclusion : \fbox{$I\tuple(\frac{3}{2};0;2)$}
\end{corrige}

\item Déterminer une mesure au degré près de l'angle $\widehat{EIF}$.

\begin{corrige}
\begin{itemize}
\item Calculons le produit scalaire $\vect{IE}\cdot\vect{IF}$ à l'aide des coordonnées.

On a $\vect{IE}\coord{-\frac{3}{2},0,-1}$ et $\vect{IF}\coord{-\frac{3}{2},0,-1}$ donc $\vect{IE}\cdot\vect{IF}=-\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}+0+(-1)\times(-1)=-\frac{5}{4}$

\item D'autre part, on a : $\vect{IE}\cdot\vect{IF}=IE\times IF\times\cos(\widehat{EIF})$

Comme $IE=IF=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$, on peut écrire :

$\vect{IE}\cdot\vect{IF}=IE\times IF\times\cos(\widehat{EIF})=\frac{13}{4}\cos(\widehat{EIF})$
\end{itemize}

On a ainsi : $\frac{13}{4}\cos(\widehat{EIF})=-\frac{5}{4} $ donc $\cos(\widehat{EIF})=-\frac{5}{13} $. Conclusion : \fbox{$\widehat{EIF}\approx \ang{113}$}
\end{corrige}

\item Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.

Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $\nuple{6;-3;-1}$.

La tranchée est assimilée à un segment d'une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $\coord{-3,4,1}$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l'arête $[BC]$.
 \begin{enumerate}
  \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

\begin{corrige}
  La droite $\Delta$ passe par $R\tuple(6;-3;-1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{n}\coord{-3,4,1}$.

  Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc : \fbox{$\systeme{x&=6-3t\\y&=-3+4t\\z&=-1+t}$ \quad $t\in\R$}

\end{corrige}

  \item On admet qu'une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.

Soit $K$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.

Déterminer les coordonnées du point $K$.

\begin{corrige}
    \[ \begin{aligned}
    K\tuple(x;y;z) \in \Delta \cap (BFG) & \Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{x&=6-3t\\y&=-3+4t\\z&=-1+t\\x&=3}
     \Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{3&=6-3t\\y&=-3+4t\\z&=-1+t\\x&=3}\\
     &\Leftrightarrow \exists t\in\R, \systeme{t&=1\\y&=-3+4=1\\z&=-1+1=0\\x&=3}
    \end{aligned} \]

    Le point d'intersection de $\Delta$ et $(BFG)$ a pour coordonnées : \fbox{$K\tuple(3;1;0)$.}

\end{corrige}

  \item Le point $K$ appartient-il bien à l'arête $[BC]$ ?

  \begin{corrige}
  On a : $\vect{BK}\coord{0,1,0}$ et $\vect{BC}\coord{0,2,0}$. On constate que $\vect{BC}=2\vect{BK}$ donc $K$ est le milieu de $[BC]$.

  Conclusion : \fbox{Le point $K$ appartient à l'arête $[BC]$}
  \end{corrige}

 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}