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\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
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\setboolean{solution}{true}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 4}  : Mini test sur les limites  (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{5 novembre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $x\e^{5x}$ ; \quad en $\mI$

\item $\exp\left(\dfrac{3}{x^2}\right)$ ; \quad en $0$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}

 \item


On a :
\[
f(x)=\dfrac15 5x\e^{5x}.
\]
$\limite{x}{\mI} 5x = \mI$ et par croissance comparée, $\limite{X}{\mI} X\e^{X} = 0$.

donc par composée (avec $X=5x$), $\limite{x}{\mI} 5x\e^{5x}=0$ et donc par produit $\limite{x}{\mI}f(x)=0$.

\item On a :
\[
f_2(x)=\exp\left(\dfrac{3}{x^2}\right).
\]
$\limite{x}{0} \dfrac{3}{x^2} = \pI$.

$\limite{X}{\pI} \e^X = \pI$

Par composée avec ($X=\dfrac{3}{x^2}$) on a $\limite{x}{0}f_2(x)=\pI$.

\end{enumerate}

\end{corrige}


\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit \( f(x) = \dfrac{x}{1 + \e^{2x}} \) pour \( x \in \R \).

\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout \( x \geq 0 \),
 \[
 0 \leq f(x) \leq \dfrac{2x}{\e^{2x}}.
 \]

  \begin{corrige}
Pour \( x \geq 0 \),


\( 1 + \e^{2x}  \geq 0 \) donc par quotient \( f(x) \geq 0 \).

De plus, \( 1 + \e^{2x} \geq \e^{2x} \) donc par inverse :

\[
\dfrac{1}{1 + \e^{2x}}\leq  \dfrac{1}{\e^{2x}}
\]

et par produit par $x\geq 0 $ on a :

\[
f(x)\leq  \dfrac{x}{\e^{2x}}
\]

De plus, pour $x>0$, on a $x<2x$, donc $ \dfrac{x}{\e^{2x}}\leq  \dfrac{2x}{\e^{2x}}$.

Ainsi on a bien

 \[
 0 \leq f(x) \leq \dfrac{2x}{\e^{2x}}.
 \]


 \end{corrige}


 \item En déduire \( \limite{x}{\pI} f(x) \).

  \begin{corrige}


 Par inverse de la croissance comparée, on sait que $\limite{X}{\pI}\dfrac{X}{\e^X}=0$.
 alors par composée (avec $X=2x$) on a $\limite{x}{\pI}  \dfrac{2x}{\e^{2x}}=0$.


Alors  théorème des gendarmes :
\[
\limite{x}{\pI} f(x) = 0
\]

 \end{corrige}
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exerciced}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{n!}{n^n}$.  Etudiez la limite de $(u_n)$.

\medskip
{\itshape On rappelle que $n!=1\times2\times3\times\dots\times n$}


\begin{corrige}
On a :
\[
u_n = \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1 \times 2 \times \cdots \times n}{n \times n \times \cdots \times n}.
\]

On écrit :
\[
u_n = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{2}{n} \times \cdots \times \dfrac{n}{n}.
\]

Pour \( k \leq n \), \( \dfrac{k}{n} \leq 1 \), donc :
\[
u_n \leq \dfrac1n \times 1 \times \cdots \times 1 .
\]

Donc on a :

\[
0\leq u_n \leq \dfrac1n
\]

On a donc par théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\limite{n}{\pI} u_n = 0}.
\]

\end{corrige}
\end{exerciced}
\newpage


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 4}  : Mini test sur les limites  (15 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{5 novembre 2025.}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}

Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

\item $\e^{x^3+x^2}$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{\e^{\sqrt{x}}}{x^3}$ ; \quad en $\pI$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item On a :
\[
f_1(x)=\e^{x^3+x^2}.
\]

On a $x^3+x^2=x^3(1+\dfrac1x)$ donc par produit:  $\limite{x}{\mI} x^3 + x^2 = \mI$.

De plus  $\limite{X}{\mI}\e^X=0$.


Alors par composée (avec $X=x^3 + x^2 $) on a : $\limite{x}{\mI} \e^{x^3+x^2} = 0$.


 \item On a :
\[
f(x)=\dfrac{\e^{\sqrt{x}}}{x^3}=\dfrac{\e^{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^6}
\]

$\limite{x}{\pI} \sqrt{x} = \pI$

et de plus  par croissance comparée $\limite{X}{\pI}\dfrac{\e^X}{X^6}=\pI$.


Alors par composée (avec $X=\sqrt x$), on $\limite{x}{\pI}f(x) = \pI$.



\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit \( f(x) = \dfrac{\e^x}{x(\sin x +2)} \) pour \( x \in \R_+^\star \).

\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout \( x \in \R \),
 \[
 \dfrac{\e^x}{3x} \leq f(x) \leq \dfrac{\e^x}{x}
 \]

 \begin{corrige}
On sait que \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), donc :
\[
1 \leq \sin x + 2 \leq 3.
\]

et donc par produit par $x>0$ on a

\[
x \leq x(\sin x + 2) \leq 3x.
\]

et par inverse
\[
\dfrac{1}{3x} \leq \dfrac{1}{x(\sin x + 2)} \leq \dfrac{1}{x}.
\]

En multipliant par \( \e^x > 0 \) on a le résultat cherché :
\[
\dfrac{\e^x}{3x} \leq f(x) \leq \dfrac{\e^x}{x}.
\]

 \end{corrige}

 \item En déduire \( \limite{x}{\pI} f(x) \).

 \begin{corrige}
On sait que par croissance comparée :

\( \limite{x}{\pI} \dfrac{\e^x}{x} = \pI \)

et donc par produit  \( \limite{x}{\pI} \dfrac{\e^x}{3x} = \pI \).

On déduit par théorème de comparaison :
\[
\limite{x}{\pI} f(x) = \pI.
\]

 \end{corrige}

 \item Déterminer \( \limite{x}{\pI} \dfrac{f(x)}{\e^x} \).

 \begin{corrige}
En reprenant l'encadrement précédent et en le divisant par $\e^x>0$ on a :
\[
\dfrac{1}{3x} \leq \dfrac{f(x)}{\e^x} \leq \dfrac{1}{x}.
\]

De plus $\limite{x}{\pI} \dfrac{1}{x} = 0$, donc par théorème des gendarmes :
\[
\limite{x}{\pI} \dfrac{f(x)}{\e^x} = 0.
\]

 \end{corrige}

\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exerciced}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\dfrac{n!}{n^n}$.  Etudiez la limite de $(u_n)$.

\medskip
{\itshape On rappelle que $n!=1\times2\times3\times\dots\times n$}


\begin{corrige}
On a :
\[
u_n = \dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1 \times 2 \times \cdots \times n}{n \times n \times \cdots \times n}.
\]

On écrit :
\[
u_n = \dfrac{1}{n} \times \dfrac{2}{n} \times \cdots \times \dfrac{n}{n}.
\]

Pour \( k \leq n \), \( \dfrac{k}{n} \leq 1 \), donc :
\[
u_n \leq \dfrac1n \times 1 \times \cdots \times 1 .
\]

Donc on a :

\[
0\leq u_n \leq \dfrac1n
\]

On a donc par théorème des gendarmes :
\[
\boxed{\limite{n}{\pI} u_n = 0}.
\]

\end{corrige}
\end{exerciced}
\end{document}