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\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 5}  : Suites (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 9 novembre 2025}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}[(5 points)]

On munit le plan d'un repère orthonormé.

Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[ f_n(x) = x^n\e^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ (voir courbes en annexe).


\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

Montrer que pour tout $x \geqslant 0$,

\[f'_n(x) = (n - x)x^{n-1}\e^{-x}.\]


\begin{corrige}
On a :
\[
f_n(x) = x^n \e^{-x}.
\]
Pour tout $x\in\R_+ : $
\begin{align*}
 f'_n(x) &= n x^{n-1} \e^{-x} + x^n (-\e^{-x}) \\
        &= \e^{-x} (n x^{n-1} - x^n) \\
        &= \e^{-x} x^{n-1} (n - x).
\end{align*}



\end{corrige}

		\item Justifier tous les éléments du tableau ci-dessous:

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3.25)
\psframe(7,3.25)\psline(0,2.25)(7,2.25)\psline(0,2.75)(7,2.75)
\psline(1,0)(1,3.25)
\uput[u](0.5,2.65){$x$}\uput[u](1.2,2.65){$0$}\uput[u](4,2.65){$n$}\uput[u](6.6,2.65){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f'_n(x)$}\rput[u](2.5,2.5){+}\rput(4,2.5){0}\rput(5.5,2.5){$-$}
\uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.8,0){0}\uput[d](4,2.25){$\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.4,1.8)\psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\rput(0.5,1.125){$f_n$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{corrige}
On a  $x^{n-1} \e^{-x} \geq 0$ sur $[0;\pI[$.

Par produit,  le signe de $f'_n(x)$ est donc celui de $n - x$
qui est affine et s’annule en $n$..
On a \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
      \item $f_n(0) = 0$
      \item $f_n(n) = n^n \e^{-n} = \left(\dfrac{n}{\e}\right)^n$.
      \item $f_n(x)=\dfrac{x^n}{\e^x} $.
      Ainsi par inverse de la croissance comparée :  $\limite{x}{\pI} f_n(x) = 0$
     \end{enumerate}

Nous avons donc bien le tableau de variation suivant pour $f_n$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7,3.25)
\psframe(7,3.25)\psline(0,2.25)(7,2.25)\psline(0,2.75)(7,2.75)
\psline(1,0)(1,3.25)
\uput[u](0.5,2.65){$x$}\uput[u](1.2,2.65){$0$}\uput[u](4,2.65){$n$}\uput[u](6.6,2.65){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.5){$f'_n(x)$}\rput[u](2.5,2.5){+}\rput(4,2.5){0}\rput(5.5,2.5){$-$}
\uput[u](1.2,0){0}\uput[u](6.8,0){0}\uput[d](4,2.25){$\left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n$}
\psline{->}(1.5,0.4)(3.4,1.8)\psline{->}(4.4,1.8)(6.4,0.4)
\rput(0.5,1.125){$f_n$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{corrige}


	\end{enumerate}
\item Les courbes $\calc_n$ semblent avoir deux points communs. Lesquels ? Vous Justifierez par un calcul.

\begin{corrige}
 D'après le graphe, il semble que $O(0;0)$ et le point $A(1;f_n(1))$ sont communs à toutes les courbes.

Vérifions cela :

Pour tout $n\in\N^\star$, on a $f_n(0)=0$ donc $O(0;0)\in\calc_n$.

De même,  $f_n(1)=\e^{-1}$ donc $A(1;\e^{-1})\in\calc_n$.

Il y a donc bien deux points communs à toutes les courbes.

\end{corrige}

\end{enumerate}

\bigskip
\begin{center}

\psset{unit=8cm,arrowsize=2pt 3,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.09)(2.05,1.1)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1.5,-1)(21,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(2.05,1.1)
% \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x neg exp}\uput[u](0.75,0.47){\red $\mathcal{C}_0$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2.71828 x neg exp x mul}\uput[u](0.75,0.35){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=gray]{0}{2}{2.71828 x neg exp x  dup mul mul}\uput[u](0.75,0.27){\gray $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0}{2}{2.71828 x neg exp x 10 exp mul}\uput[u](0.75,0.06){\magenta $\mathcal{C}_{10}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{2}{2.71828 x neg exp x 100 exp mul}\uput[u](0.92,0.02){\green $\mathcal{C}_{100}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{exercice}





\newpage


\begin{exercice}[(8 points)]

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$,

\[	u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right)\]

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

\medskip

\textbf{Partie A - Étude de la suite \boldmath$ \left(u_{n}\right)$}\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.

\begin{corrige}
\[
u_1 = \dfrac{1}{2}\left(5 + \dfrac{11}{5}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{36}{5}\right) = \dfrac{18}{5}.
\]
\[
u_2 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{18}{5} + \dfrac{11}{\frac{18}{5}}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{18}{5} + \dfrac{55}{18}\right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{324 + 275}{90}\right) = \dfrac{299}{90}.
\]
\end{corrige}

\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par :

\[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right)\]


Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11}~;~+\infty\right[$.


\begin{corrige}
On a pour $x>0$ :
\[
f'(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{11}{x^2}\right).
\]
Recherchons le signe de $f'(x)$ :
\begin{align*}
 f'(x) \geq 0 &\ssi 1 - \dfrac{11}{x^2} \geq 0\\
                 &\ssi x^2 \geq 11 \\
                 &\ssi |x| \geq \sqrt{11} \text{~~~~~~~~car $x\mapsto \sqrt{x}$ est croissante sur $\R_+^\star$.}  \\
                 &\ssi x \geq \sqrt{11} \text{~~~~~~~~car $x>0$ }
\end{align*}

Donc $f$ est croissante sur $[\sqrt{11};\pI[$.

\end{corrige}


\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.
\begin{corrige}
\textbf{Initialisation} ($n=0$) :
Nous avons $u_0 = 5 > \sqrt{11} \approx 3.316$.

et $u_1 = \dfrac{18}{5} = 3.6 > \sqrt{11}$.

Donc on a bien $u_0 > u_1 \geq \sqrt{11}$.

\textbf{Hérédité} : Soit $k\in\N$, supposons $u_k \geq u_{k+1} \geq \sqrt{11}$ et montrons que c'est aussi vrai au rang suivant.

On a
\[u_k \geq u_{k+1} \geq \sqrt{11}\]

et donc par application de $f$ qui est croissante sur $[\sqrt{11};\pI[$, on a :

\[f(u_k) \geq f(u_{k+1}) \geq f(\sqrt{11})\]

 et donc

\[u_{k+1} \geq u_{k+2} \geq \sqrt{11}\].

L'hérédité est donc démontrée.

\textbf{Conclusion} : Par récurrence, $\forall n, u_n \geq u_{n+1} \geq \sqrt{11}$.
\end{corrige}
\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
\begin{corrige}
 D'après la question précédente $(u_n)$ est décroissante et minorée par $ \sqrt{11}$, donc par théorème, elle converge vers $a\geq \sqrt{11}$.
\end{corrige}

\item Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
\begin{corrige}
 On a

  \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $u_{n+1}=f(u_n)$.
 \item $(u_n)$  vers $a \geq \sqrt{11}$.
 \item $f$ est continue sur $]0;\pI[$ (car dérivable) donc $f$ continue en $a$..
\end{enumerate}

Alors par théorème du point fixe $f(a)=a$.

On a :

\begin{align*}
 f(a)=a &\ssi \dfrac{1}{2}\left(a + \dfrac{11}{a}\right)\\
  &\ssi 2a = a + \dfrac{11}{a} \\
  &\ssi a = \dfrac{11}{a} \\
  &\ssi a^2 = 11 \text{~~~~~~~~~~ (car $a>0$)}\\
  &\ssi a = \sqrt{11}
\end{align*}


\end{corrige}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application géométrique - Hors barème. A faire pour demain.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2} \]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$,

\[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\]
	\end{enumerate}
\item Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la \textbf{partie A}.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$.
\item On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la \textbf{partie B}.
\item Voici un script, écrit en langage Python, relatif aux suites étudiées dans cette partie :

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\bfseries \ttfamily}l >{\ttfamily}l|} \hline
1 & def heron(n): \\
2 & \quad $L$=5 \\
3 & \quad $\ell$=2.2 \\
4 & \quad for i in range(n): \\
5 & \qquad $L$ = ($L$+$\ell$) / 2 \\
6 & \qquad $\ell$ = 11 / $L$ \\
7 & \quad return round($\ell$,6), round($L$,6)\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On rappelle que la fonction Python \texttt{round(x,k)} renvoie une version arrondie du nombre \texttt{x} avec \texttt{k} décimales.

	\begin{enumerate}
		\item Si l'utilisateur tape \texttt{heron(3)} dans une console d'exécution Python, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour $\ell$ et $L$ ?
		\item Donner une interprétation de ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}




\end{document}