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\setmathfont{STIX Two Math}

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% Maths
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     input repere;
     }

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%      \frenchbsetup{SuppressWarning,CompactItemize=false,og=«,fg=»}
     \DecimalMathComma

\usepackage[pagestyles]{titlesec}

  \usepackage[%
       unicode,%
       pdftitle={Bac blanc LFB - 2026},%
       pdfauthor={LFB},
       colorlinks,%
       linkcolor=darkgray%
       ]{hyperref}

\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
     \refstepcounter{exercice}
     \par
     \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
     \vspace{-0.7\baselineskip}
     \hrulefill
     \par\medskip}{\par\vspace{5\baselineskip}}


\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
       \refstepcounter{partie}
        \par \vspace{0.5ex}\noindent
       \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
       }\nopagebreak\par\medskip%
       }{\par\vspace{1em}}


\newpagestyle{BB}{
  \sethead{}% odd-left
   {}% odd-center
   {}% odd-right
  \setfoot{}% odd-left
   {}% odd-center
   {\thepage{}/\pageref{LastPage}}% odd-right
        }

\pagestyle{BB}


%%%% Python
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle =\ttfamily,
 language=Python,%
 frame=tblr,
 rulecolor=\color[gray]{0.6},
 numbers=left,
 numberstyle=\tiny,
 }




%%%%%% Commandes mathématiques
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\oij}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}\right)}
\newcommand{\oijk}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)}
\newcommand{\coord}[1]{\matrice[1]{#1}}
\newcommand{\limn}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}
\newcommand\Suite[1]{\left(#1_n\right)}

%%%%% Intervalles
\usepackage{interval}
\intervalconfig{separator symbol={~;}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFF}{m m}{\interval[scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOF}{m m}{\interval[open left,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFO}{m m}{\interval[open right,scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOO}{m m}{\interval[open,scaled]{#1}{#2}}
\newcommand{\oinf}{\intervalleOO{0}{+\infty}}

\newcommand{\nuple}[2][;]{\setsepchar{#1}
    \readlist\comp{#2}
    \left(
    \foreachitem\cc\in\comp{{\cc{}}\,{\compsep[\cccnt]}\,}%
    \!\!
    \right)}
\NewDocumentCommand{\tuple}{r()}{\nuple{#1}}


\newboolean{solution}

\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}

\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
                    enhanced,
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                    }

\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
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                                   {\par\medskip
                                    \begin{corrigeboite}
                                    #1
                                    \end{corrigeboite}
                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}


\ifdefined\affsol
\setboolean{solution}{\affsol}
\else
\setboolean{solution}{true}
\fi


\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}}
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
        }
\newcommand{\ce}[3]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2\\
	#3
        \end{pmatrix}%
        }

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }


\begin{document}

\renewcommand{\euro}{\officialeuro}

\thiswatermark{\put(240,-350){%
     \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
     \rotatebox{45}{\color{lightlightgray}BAC BLANC}}}}%
     }


%\vfill
{\sffamily
\begin{center}

\begin{Large}
\textbf{BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\vspace{0.7\baselineskip}

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\vspace{0.7\baselineskip}

\textbf{SESSION 2026}
\end{Large}

\vspace{2\baselineskip}

\begin{LARGE}
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\end{LARGE}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{Large}
\textbf{Jour 1}
\end{Large}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{large}
Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}
\end{large}

\end{center}

\vfill

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

\vfill

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.

\vfill

\vfill

\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.}
}
\vfill

\vfill



\newpage
\begin{exercice}{5}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Remplir la feuille annexe selon les modalités expliquées ci-dessous :
\begin{itemize}
\item  \textbf{Ne pas oublier d'écrire nom, prénom et groupe de spécialité dans le cadre et de noircir le code personnel.}
\item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève aucun point.
\item  Noircir proprement, pour chaque question, la case correspondant à la bonne réponse. En cas d'erreur, effacer à l’aide de blanc correcteur en couvrant la case cochée par erreur.
Dans ce cas, ne pas reconstituer la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse.
\item \textbf{L'annexe est à rendre avec la copie.}
\end{itemize}
\end{exercice}


\begin{exercice}{5}
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$ par $g(x)= 2x - x^2$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $\intervalleFF{0}{1}$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.
 
 \begin{corrige}
 Pour $x\in[0;1]$, $g'(x)=2-2x=2(1-x)$ est une fonction affine qui s'annule en 1 et donc par propriété $g'(x)\geq 0$ sur $x\in[0;1]$ et $g$ est strictement croissante.
 
 De plus $g(0)=0$ et $g(1)=1$.
 \end{corrige}
\end{enumerate}

On considère la suite $\Suite{u}$ définie par : $\begin{cases*} u_0=\frac{1}{2} \\ u_{n+1}=g(u_n) & pour tout entier naturel $n$\end{cases*}$

\begin{enumerate}[resume]
 \item Calculer $u_1$ et $u_2$.
 \begin{corrige}
 $u_1 = g\left(\dfrac12\right)  = 1 - \dfrac14 = \dfrac34$.
 
 $u_2 = g\left(\dfrac34\right) = \dfrac32 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{24}{16} - \dfrac{9}{16} = \dfrac{15}{16}$.
 \end{corrige}
 
 \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < u_{n+1} < 1$.
 
 \begin{corrige}
 On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $0 < u_n < u_{n+1} < 1$.
 
 {\bf Initialisation : } Pour $n=0$, on a $u_0=\dfrac12$ et $u_1=\dfrac34$. On a bien $0 < \dfrac12 < \dfrac34 < 1$.
 
 {\bf Hérédité : } Pour $k\in\N$, supposons $0 < u_k < u_{k+1} < 1$ et montrons $0 < u_{k+1} < u_{k+2} < 1$.
 
 On a $0 < u_k < u_{k+1} < 1$, et $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ (d'après la question 1). Donc :
 \[ g(0) < g(u_k) < g(u_{k+1}) < g(1) \]
 c'est-à-dire $0 < u_{k+1} < u_{k+2} < 1$.
 
 L'hérédité est donc démontrée.
 
 {\bf Conclusion : } Pour tout $n\in\N$, on a $0 < u_n < u_{n+1} < 1$.
 \end{corrige}
 
 \item En déduire que la suite $\Suite{u}$ est convergente.
 \begin{corrige}
 La suite $(u_n)$ est strictement croissante (car $u_n < u_{n+1}$) et majorée par $1$. Donc par théorème, elle converge vers une limite $\ell \leq 1$.
 \end{corrige}
 
 \item\label{suites:limite} Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\Suite{u}$.
 \begin{corrige}
  On a

  \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item $u_{n+1}=g(u_n)$.
 \item $(u_n)$  vers $\ell \leq 1$.
 \item $g$ est continue sur $]\mI;\pI[$ car $g$ est un polynôme.
\end{enumerate}

Alors par théorème du point fixe $g(\ell)=\ell$.

Donc :
\begin{align*}
 2\ell - \ell^2=\ell&\ssi\ell^2 - \ell = 0\\
                     &\ssi \ell(\ell-1)=0 \\
                     &\ssi \text{ $\ell=0$ ou $\ell=1$ }
\end{align*}


 La suite étant croissante et $u_0=\dfrac12$, on a $\ell \geq u_0 >0$, donc $\ell=1$.
 \end{corrige}
\end{enumerate}

On considère la suite $\Suite{v}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(1-u_n)$.

\begin{enumerate}[resume]
 \item Démontrer que la suite $\Suite{v}$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.
 
 \begin{corrige}
 Pour tout $n\in\N$ :
 \begin{align*}
 v_{n+1} &= \ln(1-u_{n+1}) \\
 &= \ln\left(1 - (2u_n - u_n^2)\right) \\
 &= \ln(1 - 2u_n + u_n^2) \\
 &= \ln\left((1-u_n)^2\right) \\
 &= 2\ln(1-u_n) \\
 &= 2v_n
 \end{align*}
 Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0 = \ln(1-u_0) = \ln\left(\dfrac12\right) = -\ln 2$.
 \end{corrige}
 
 \item En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
 \begin{corrige}
 Par propriété, pour tout $n\in\N$ : $v_n = v_0 \times 2^n = -(\ln 2) \times 2^n$.
 \end{corrige}
 
 \item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question \ref{suites:limite}.
 \begin{corrige}
 On a $v_n = \ln(1-u_n)$, donc $1-u_n = \e^{v_n}$

 et il vient donc

 \begin{align*}
  u_n&=1-\e^{v_n}\\
      &=1- \e^{-(\ln 2) \times 2^n}
 \end{align*}

 On a $2>0$ donc par propriété $\limite{n}{\pI} 2^n = \pI$,

 donc  $\limite{n}{\pI} -\ln 2 . 2^n = \mI$, et donc par composée $\limite{n}{\pI}  \e^{-(\ln 2) \times 2^n}= 0$, et par somme

 \[\boxed{\limite{n}{\pI} u_n = 1.}\]
 \end{corrige}
 
 \item Recopier et compléter le script \lstinline{python} ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang \lstinline{n} à partir duquel la suite dépasse 0,95.

\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{lstlisting}
def seuil() :
 n = 0
 u = 0.5
 while u < 0.95 :
  n = n+1
  u = 2*u - u**2
 return n
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\begin{corrige}
 Ligne 5 : \texttt{n = n+1}
 
 Ligne 6 : \texttt{u = 2*u - u**2}
\end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}{5}
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x)=x\ln{(x^2)}-\frac{1}{x} \]

\begin{partie}[Lectures graphiques]

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $\nuple{1;-1}$. Cette tangente passe également par le point $B\nuple{0;-4}$.

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-0.5,3.9,2cm,-6.7,7,0.5cm);
draw quadrillage(1,1);
draw axes(1,1);
vardef f(expr x)=2*x*ln(x)-1/x enddef;
pair A,B;
path C_f,T;
A=(1,-1);B=(0,-4);
C_f=courbefonc(f)(0.1,4);
draw C_f epaisseur 1 couleur rouge;
T= droite(A,B);
draw T epaisseur 1 couleur 0.5cyan;
nomme.ulft(C_f,2.9,"$(C_f)$") couleur rouge;
nomme.lrt(T,3.2,"$(T)$") couleur 0.5cyan;
nomme.lrt(A);nomme.lrt(B);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


\begin{enumerate}
 \item Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l'équation réduite de la tangente $(T)$.
 
 \begin{corrige}
 $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $(T)$. On a $A(1;-1)$ et $B(0;-4)$, donc :
 \[ f'(1) = \dfrac{-4 - (-1)}{0 - 1} = \dfrac{-3}{-1} = 3 \]
 
 L'équation de $(T)$ est de la forme $y = 3x + b$. $B(0;-4)$ donne $b = -4$, donc $(T) : y = 3x - 4$.
 \end{corrige}
 
 \item Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
 Que semble représenter le point A pour la courbe $\left(C_f\right)$ ?
 
 \begin{corrige}
 Graphiquement, $f$ semble concave sur $]0;1]$ (courbe en dessous de ses tangentes) et convexe sur $[1;+\infty[$ (courbe au-dessus de ses tangentes).
 
 Le point $A$ semble être un point d'inflexion car la courbe y traverse sa tangente et la convexité change.
 \end{corrige}
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}[Étude analytique]


\begin{enumerate}
 \item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en 0.
 
 \begin{corrige}
 Pour $x>0$, on a $f(x)=2x\ln x - \dfrac1x$.
 
 En $+\infty$ : $\limite{x}{\pI} \ln x = \pI$, donc par produit $\limite{x}{\pI} x\ln x = \pI$ et $\limite{x}{\pI} \dfrac1x = 0$, donc par somme

 \[\limite{x}{\pI} f(x) = \pI\]
 
 En $0^+$ : $\limite{x}{0^+} 2x\ln x = 0$ (théorème des croissances comparées) et $\limite{x}{0^+} \dfrac1x = +\infty$, donc par somme

 \[\limite{x}{0^+} f(x) = -\infty\].
 \end{corrige}
 
 \item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
  
  \begin{corrige}
  Pour $x>0$, on a $f(x)=2x\ln x - \dfrac1x$.
  \begin{align*}
  f'(x) &= 2\ln x + 2x\times \dfrac1x + \dfrac{1}{x^2} \\
  &= 2\ln x + 2 + \dfrac{1}{x^2}
  \end{align*}
  \end{corrige}
  
  \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$, \[ f''(x) = \frac{2(x+1)(x-1)}{x^3} \]
  
  \begin{corrige}
  Pour $x>0$, on a :
  \begin{align*}
  f''(x) &= \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x^3} \\
  &= \dfrac{2x^2 - 2}{x^3} \\
  &= \dfrac{2(x^2-1)}{x^3} \\
  &= \dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}
  \end{align*}
  \end{corrige}
 \end{enumerate}
 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
  
  \begin{corrige}
  Pour $x>0$, $x^3>0$ et $x+1>0$  donc $f''(x)$ est du signe de $(x-1)$ et on a le tableau de convexité suivant.
  
  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.5]
{ $x$ / 1, $f''(x)$ / 1, $f$/ 1}
{ $0$  ,$1$, $\pI$}%
\tkzTabLine{ ,-,z,+, }%
\tkzTabLine{ ,concave ,  , convexe, }%
\end{tikzpicture}
\end{center}

Il y a changement de courbure en $x=1$- $f$ admet donc un point d'inflexion $A(1;f(1))$ comme point d'inflexion.
\end{corrige}


  
  \item Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
  
  \begin{corrige}
  Le signe de $f''$ nous donne les variations de $f'$ :

  \begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTab[lgt=2,espcl=3]{ $x$ / 1,
$f''(x)$ / 1,
$f'$ / 2}
{ $0$ , $1$ ,$\pI$}
{ d,-,z,+,}
{  D+/ , -/$3$ , +/ }%
\end{tikzpicture}
\end{center}
\medskip


On a donc pour $x>0$, $f'(x)\geq 3>0$

  \medskip


  Ainsi $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.

  \end{corrige}
 \end{enumerate}
 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervalleOO{0}{+\infty}$.
  
  \begin{corrige}
  Sur $]0;+\infty[$ :
  \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
   \item $f$ est strictement croissante.
   \item $f$ est continue (car dérivable).
   \item $\limite{x}{0^+} f(x) = -\infty$ et $\limite{x}{\pI} f(x) = +\infty$, donc $0$ est intermédiaire à ces deux limites.
  \end{enumerate}
  Par corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0;+\infty[$.
  \end{corrige}
  
  \item Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : \[ \alpha^2 = \exp{\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)} \]
  
  \begin{corrige}
  À la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 1,32$.

  \medskip


  
  On a $f(\alpha)=0$, donc

  \begin{align*}
\alpha\ln(\alpha^2) - \dfrac1\alpha = 0 &\ssi    2\alpha\ln\alpha = \dfrac1\alpha\\
                                       &\ssi   \ln\alpha^2 = \dfrac{1}{\alpha^2}\\
                                       & \ssi \alpha^2 = \e^{\frac{1}{\alpha^2}} \text{~~~~~(en applicant $\exp$)}
  \end{align*}

  \end{corrige}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{partie}
\end{exercice}



\begin{exercice}{5}
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\oijk$.

On considère :
\begin{itemize}
\item les points $A\nuple{-2;0;2}$, $B\nuple{-1;3;0}$, $C\nuple{1;-1;2}$ et $D\nuple{0;0;3}$
\item la droite $\mathcal{D}_1$  dont une représentation paramétrique est : $\left\{
  \begin{aligned}
  x&= t\\
  y&=3t\\
  z&=3+5t
  \end{aligned}
  \right.\quad t\in\R $
\item la droite $\mathcal{D}_2$  dont une représentation paramétrique est : $\left\{
  \begin{aligned}
  x&= 1+3s\\
  y&=-1-5s\\
  z&=2-6s
  \end{aligned}
  \right.\quad s\in\R $
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

\begin{corrige}
 On a $\vect{AB}\ce{1}{3}{-2}$ et $\vect{AC}\ce{3}{-1}{0}$.
 
 Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car il n'existe pas de coefficient $k$ tel que $3 = k\times 1$ et $-1 = k\times 3$ simultanément.
 
 Donc $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\end{corrige}

\item
 \begin{enumerate}
 \item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\coord{1,3,5}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
 
 \begin{corrige}
 On a :
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
  \item $\vect{n}\cdot\vect{AB}  = 1 + 9 - 10 = 0$
  \item $\vect{n}\cdot\vect{AC} = 3 - 3 + 0 = 0$
 \end{enumerate}

 $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$, donc $\vect{n}$ est normal à $(ABC)$.
 \end{corrige}
 
 \item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est :
 $x + 3y + 5z - 8 = 0$.
 
 \begin{corrige}
$(ABC)$ à pour vecteur normal $\vect{n}\ce{1}{3}{5}$ donc par propriété  $(ABC) : x+3y+5z+d=0$.
 
 $A(-2;0;2) \in(ABC)$ donc $-2 + 3\times 0 + 5\times 2 + d = 0$, soit $-2 + 10 + d = 0$, donc $d = -8$.
 
 Ainsi \[(ABC) : x+3y+5z-8=0.\]
 \end{corrige}
 
 \item En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
 
 \begin{corrige}
 On vérifie si $D$ appartient au plan $(ABC)$ :


 On a : $x_D + 3y_D + 5z_D - 8 = 0 + 3\times 0 + 5\times 3 - 8 = 7 \neq 0$.
 
 \medskip

 Donc $D\notin(ABC)$, ainsi les quatre points ne sont pas coplanaires.
 \end{corrige}
 \end{enumerate}
 
\item
 \begin{enumerate}
 \item Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
 
 On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
 
 \begin{corrige}
 $\mathcal{D}_1$ a pour vecteur directeur $\vect{u_1}\ce{1}{3}{5} = \vect{n}$, qui est normal au plan $(ABC)$.
 


 De plus, avec $t=0$ dans les équations de $\mathcal{D}_1$ on obtient $D(0;0;3)$ donc $D\in\mathcal{D}_1$.

 \medskip


 Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la droite passant par $D$ et orthogonale à $(ABC)$ : c'est la hauteur issue de $D$.

 \end{corrige}
 
 \item Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées
 de leur point d’intersection.
 
 \begin{corrige}
 \begin{align*}
 M(x;y;z)\in\mathcal{D}_1\cap\mathcal{D}_2 &\ssi
 \begin{cases}
 t = 1+3s \\
 3t = -1-5s \\
 3+5t = 2-6s
 \end{cases} \\
&\ssi \syst{t=1+3s}{3(1+3s)+5s=-1}{5(1+3s)+6s=-1}\\
&\ssi \syst{t=1+3s}{14s=-4}{21s=-6}\\
&\ssi \syst{t=1+3s}{s=-\frac27}{s=-\frac{2}{7}}\\
&\ssi \syst{t=\frac17}{s=-\frac27}{s=-\frac{2}{7}}\\
 \end{align*}

 On a donc \[ \syst{x = t = \dfrac17}{y = 3t = \dfrac37}{z = 3+5t = \dfrac{26}{7}}\]


 Donc $I\left(\dfrac17;\dfrac37;\dfrac{26}{7}\right)$.
 \end{corrige}
 \end{enumerate}
 
 \item
 \begin{enumerate}
 \item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
 
 \begin{corrige}
 $H$ est l'intersection de $\mathcal{D}_1$ (hauteur issue de $D$) avec le plan $(ABC)$.
 
 \begin{align*}
 H(x;y;z) \in \mathcal{D}_1\cap (ABC) &\ssi  \begin{cases}
  x+3y+5z-8=0 \\ x=t\\ y=3t \\ z=3+5t \\ \end{cases}  \\
  &\ssi t + 9t + 5(3+5t) - 8 = 0 \text{~~Avec $(x,y,z)$, donné par $ \mathcal{D}_1$}\\
   &\ssi35t + 7 = 0\\
   &\ssi t = -\dfrac{7}{35} = -\dfrac{1}{5}
\end{align*}

Alors $ \syst{x=& -\dfrac15;}{y=&-\dfrac35}{z=&3+5\times\left(-\dfrac15\right)}$ ~~~et donc ~~~ $ \syst{x=& -\dfrac15;}{y=&-\dfrac35}{z=&2}$

\medskip
 
 Ainsi $H\left(-\dfrac15;-\dfrac35;2\right)$.
 \end{corrige}
 
 \item Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. \textit{Arrondir le résultat au centième}.
 
 \begin{corrige}

On a $\vect{DH}\ce{-\dfrac15}{-\dfrac35}{-1}$

alors $DH^2=\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1 = \dfrac{35}{25}$

Donc \[DH= {\dfrac{\sqrt{35}}{5}} \approx 1,18\]

 \end{corrige}
 \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}