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% Maths
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\newcounter{exercice}
\newcounter{ptexos}
\newenvironment{exercice}[1]{%
     \refstepcounter{exercice}
     \par
     \textbf{\large Exercice \arabic{exercice}\hfill #1 points}\par\nopagebreak
     \vspace{-0.7\baselineskip}
     \hrulefill
     \par\medskip}{\par\vspace{4\baselineskip}}


\newcounter{partie}[exercice]
\renewcommand{\thepartie}{\Alph{partie}}
\newenvironment{partie}[1][]{%
       \refstepcounter{partie}
        \par \vspace{0.5ex}\noindent
       \textbf{Partie \thepartie \ifthenelse{\equal{#1}{}}{}{\quad -\quad#1}%
       }\nopagebreak\par\medskip%
       }{\par\vspace{1em}}


\newpagestyle{BB}{
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\pagestyle{BB}


%%%% Python
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 numberstyle=\tiny,
 }



%\simplesmatricessetup{prefix=small}
%%%%%% Commandes mathématiques
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\vect}[1]{\vv{#1}}
\newcommand{\oij}{\left(O~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}\right)}
\newcommand{\aijk}{\left(A~;\vect{\imath}~;\vect{\jmath}~;\vect{k}\right)}
\newcommand{\coord}[1]{\matrice[1]{#1}}
\newcommand{\limn}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\limo}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow 0}}
\newcommand{\limpinf}[1][x]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow +\infty}}
\newcommand{\systeme}[1]{\left\{\begin{aligned}#1\end{aligned}\right.}

%%%%% Intervalles
\usepackage{interval}
\intervalconfig{separator symbol={~;}}
\NewDocumentCommand{\intervalleFF}{m m}{\interval[scaled]{#1}{#2}}
\NewDocumentCommand{\intervalleOF}{m m}{\interval[open left,scaled]{#1}{#2}}
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\newcommand{\oinf}{\intervalleOO{0}{+\infty}}

\newcommand{\nuple}[2][;]{\setsepchar{#1}
    \readlist\comp{#2}
    \left(
    \foreachitem\cc\in\comp{{\cc{}}\,{\compsep[\cccnt]}\,}%
    \!\!
    \right)}
\NewDocumentCommand{\tuple}{r()}{\nuple{#1}}


\newboolean{solution}

\definecolor{Couleur1}{rgb}{0.7,0,0}
\definecolor{Couleur2}{rgb}{1,0.6,0}

\NewTColorBox{corrigeboite}{}{%
                    breakable,
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                    }

\NewDocumentEnvironment{corrige}{ +b }
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                                    #1
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                                    \par\medskip}
                                   {}
                               }
                               {}


\ifdefined\affsol
\setboolean{solution}{\affsol}
\else
\setboolean{solution}{true}
\fi


\newcommand{\pI}{{\ensuremath{+\infty}}}
\newcommand{\mI}{{\ensuremath{-\infty}}}

% pour écrire des limites
\newcommand{\limite}[2]{\displaystyle\lim_{#1\rightarrow #2}}

%%%%%%%%%%%% Coordonnées %%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cp}[2]{%
        \begin{pmatrix}
        #1\\
        #2
        \end{pmatrix}%
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\newcommand{\ce}[3]{%
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        #2\\
	#3
        \end{pmatrix}%
        }

\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow} % Pour faire le symbole equivalent

\newcommand{\syst}[3]{%
       \left\{
       \begin{aligned}
          #1\\
          #2\\
	  #3
       \end{aligned}
       \right.%
       }




\begin{document}

\renewcommand{\euro}{\officialeuro}

\thiswatermark{\put(240,-350){%
     \makebox(0,0)[c]{\resizebox{\textwidth}{!}{%
     \rotatebox{45}{\color{lightlightgray}BAC BLANC}}}}%
     }


%\vfill
{\sffamily
\begin{center}

\begin{Large}
\textbf{BACCALAURÉAT GÉNÉRAL}

\vspace{0.7\baselineskip}

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

\vspace{0.7\baselineskip}

\textbf{SESSION 2026}
\end{Large}

\vspace{2\baselineskip}

\begin{LARGE}
\textbf{MATHÉMATIQUES}
\end{LARGE}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{Large}
\textbf{Jour 2}
\end{Large}

\vspace{3\baselineskip}

\begin{large}
Durée de l'épreuve : \textbf{4 heures}
\end{large}

\end{center}

\vfill

L’usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.

L’usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.

\vfill

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte \pageref{LastPage} pages numérotées de 1/\pageref{LastPage} à \pageref{LastPage}/\pageref{LastPage}.

\vfill

\vfill

\textit{La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes
ou infructueuses, seront valorisées.}
}
\vfill

\vfill



\newpage
\begin{exercice}{5}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Remplir la feuille annexe selon les modalités expliquées ci-dessous :
\begin{itemize}
\item  \textbf{Ne pas oublier d'écrire nom, prénom et groupe de spécialité dans le cadre et de noircir le code personnel.}
\item Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
\item Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève aucun point.
\item  Noircir proprement, pour chaque question, la case correspondant à la bonne réponse. En cas d'erreur, effacer à l’aide de blanc correcteur en couvrant la case cochée par erreur.
Dans ce cas, ne pas reconstituer la case effacée, cela pourrait être considéré comme une bonne réponse.
\item \textbf{L'annexe est à rendre avec la copie.}
\end{itemize}
\end{exercice}

\begin{exercice}{6}
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

\medskip
\begin{partie}[Modèle discret de la quantité médicamenteuse]
\label{modelediscret}



Après une première injection de \qty{1}{mg} de médicament, le patient est placé sous perfusion.

On estime que, toutes les 30 minutes, l'organisme du patient élimine \qty{10}{\%} de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de \qty{0,25}{mg} de la substance médicamenteuse.

On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant :

pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.



\begin{enumerate}[itemsep=1ex]
\item Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d'une demi-heure.

\begin{corrige}
On a $u_1 = 0,9 \times 1 + 0,25 = 0,9 + 0,25 = 1,15$.

La quantité est de $1,15~\text{mg}$.
\end{corrige}

\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.

\begin{corrige}
Chaque demi-heure, l'organisme élimine 10\% de la quantité présente, donc il reste $0,9u_n$. On ajoute ensuite une dose de $0,25$ mg. Ainsi $u_{n+1} = 0,9u_n + 0,25$.
\end{corrige}

\item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant  u_{n+1} < 5$.

  \begin{corrige}
  On montre par récurrence que pour tout $n\in\N$ : $u_n \leq u_{n+1} < 5$.

  \textbf{Initialisation : } $u_0 = 1$ et $u_1 = 1,15$. On a bien $1 \leq 1,15 < 5$.

  \textbf{Hérédité : } Pour $k\in\N$, supposons $u_k \leq u_{k+1} < 5$ et montrons $u_{k+1} \leq u_{k+2} < 5$.

  On a :
  \begin{align*}
   u_k &\leq u_{k+1} < 5 \\
   \text{Donc~~~ }  0,9u_k+0,25 &\leq 0,9u_{k+1}+0,25 < 0,9.5 +0,25 \text{~~~~ car $x\mapsto0,9x+0,25$ affine croissante}\\
   \text{Donc~~~~~~~~ } u_{k+1} &\leq u_{k+2} < 4,75 <5 \\
  \end{align*}

  donc l'hérédité est démontrée.

  \textbf{Conclusion : } Pour tout $n\in\N$, $u_n \leq u_{n+1} < 5$.
  \end{corrige}

  \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

  \begin{corrige}
  La suite $(u_n)$ est croissante (car $u_n \leq u_{n+1}$) et majorée par $5$. Donc par théorème, elle converge vers une limite $\ell \leq 5$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

\item On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang
du patient est supérieure ou égale à \qty{1,8}{mg}.
 \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.

\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{lstlisting}
def efficace():
   u = 1
   n = 0
   while ......:
      u = ......
      n = n + 1
   return n
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

  \begin{corrige}
  Ligne 4 : \texttt{while u < 1.8 :}

  Ligne 5 : \texttt{u = 0.9*u + 0.25}
  \end{corrige}

  \item \label{script} Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

  \begin{corrige}
  En exécutant le script, on trouve :
  $u_0 = 1$, $u_1 = 1,15$, $u_2 \approx 1,285$, $u_3 \approx 1,4065$, $u_4 \approx 1,51585$, $u_5 \approx 1,614265$, $u_6 \approx 1,7028385$, $u_7 \approx 1,78255465$, $u_8 \approx 1,854299185$.

  Au bout de 8 périodes, on dépasse 1,8 mg. La valeur renvoyée est donc $n=8$.

  Interprétation : le médicament devient réellement efficace au bout de $8 \times 30 = 240$ minutes, soit 4 heures.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5 - u_n$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

  \begin{corrige}
  Pour tout $n\in\N$ :
  \begin{align*}
  v_{n+1} &= 2,5 - u_{n+1} \\
  &= 2,5 - (0,9u_n + 0,25) \\
  &= 2,5 - 0,9u_n - 0,25 \\
  &= 2,25 - 0,9u_n \\
  &= 0,9(2,5 - u_n) \\
  &= 0,9v_n
  \end{align*}
  Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,9$ avec $v_0 = 2,5 - u_0 = 2,5 - 1 = 1,5$.
  \end{corrige}

  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.

  \begin{corrige}
  Par propriété des suites géométriques on a, pour tout $n\in\N$ :

  $v_n = v_0 \times q^n = 1,5 \times 0,9^n$.


  Comme $v_n = 2,5 - u_n$, on a $u_n = 2,5 - v_n$ et donc

  \[u_n= 2,5 - 1,5 \times 0,9^n\].
  \end{corrige}

  \item Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse \qty{3}{mg}.
  D'après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.

  \begin{corrige}
  On a pour $n\in\N$, $u_n = 2,5 - 1,5 \times 0,9^n$.

 \medskip

  donc $u_n < 2,5$.

\medskip

  Ainsi la quantité ne dépasse jamais 2,5 mg, donc reste inférieure au seuil de toxicité de 3 mg.
  Par conséquent, le traitement ne présente pas de risque pour le patient.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{partie}

\begin{partie}[Modèle continu de la quantité médicamenteuse]

Après une injection initiale de \qty{1}{mg} de médicament, le patient est placé sous perfusion.

Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de \qty{0,5}{mg} par heure.

La quantité de médicament dans le sang du patient en \unit{mg}, en fonction du temps, est modélisée
par la fonction $f$, définie sur $\intervalleFO{0}{+\infty}$, par :

\[f(t) = 2,5 - 1,5\e^{-0,2t}\]

où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.

On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à \qty{1,8}{mg}.



\begin{enumerate}[itemsep=1ex]
\item Le médicament est-il réellement efficace au bout de \qty{3}{h} \qty{45}{min} ?

\begin{corrige}
$3h45min = 3,75 h$.

\medskip

$f(3,75) = 2,5 - 1,5\e^{-0,2 \times 3,75} \approx 1,792$ mg.


Cette valeur est inférieure à 1,8 mg, donc le médicament n'est pas encore réellement efficace.
\end{corrige}

\item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

\begin{corrige}
On cherche $t$ tel que $f(t) \geq 1,8$, soit :
\begin{align*}
f(t) \geq 1,8 &\iff 2,5 - 1,5\e^{-0,2t} \geq 1,8 \\
&\iff -1,5\e^{-0,2t} \geq -0,7 \\
&\iff 1,5\e^{-0,2t} \leq 0,7 \\
&\iff \e^{-0,2t} \leq \dfrac{0,7}{1,5} = \dfrac{7}{15} \\
&\iff -0,2t \leq \ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \\
&\iff t \geq -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right)
\end{align*}

Et $-5\ln\dfrac{7}{15}\approx 3,81 \approx $ 3h49

Donc à partir de $3$ h $49$ min, le médicament est réellement efficace.
\end{corrige}

\item Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question \ref{script} du modèle discret de la Partie \ref{modelediscret}.

\begin{corrige}
Avec le modèle discret, on trouvait 4 heures (8 périodes de 30 min). Avec le modèle continu, on trouve environ 3h 49 min.

Les deux résultats sont proches, le modèle discret donnant un temps légèrement supérieur. Cette différence s'explique par le fait que le modèle discret considère des paliers de 30 minutes alors que le modèle continu est plus précis.
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{partie}
\end{exercice}

\begin{exercice}{4}
Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\aijk$ de l'espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont :
\[ B\tuple(3;0;0), \quad D\tuple(0;3;0)\quad \text{et}\quad E\tuple(0;0;3) \]

\begin{center}
\begin{mplibcode}
Uxy:=1.4cm;
repere();
pair A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q,R;
A=(0,0);B=(2.4,-0.5);D=(2.7,0.5);C=B+D;
E=(0,3.2);E-A=F-B=G-C=H-D;
Q=E+2*D/3;R=B/3+E;
drawoptions(epaisseur 1);
draw A--D--C dashed evenly;
draw D--H dashed evenly;
draw A--B--F--E--cycle;
draw B--C--G--F;
draw G--H--E;
nomme.ulft(Q);nomme.bot(R);
marque_p:="";
nomme.llft(A);nomme.bot(B);nomme.lrt(C);nomme.bot(D);
nomme.lft(E);nomme.top(F);nomme.urt(G);nomme.top(H);
I=0.33[A,B];J=0.33[A,D];P=0.33[A,E];
drawvecteur(A,I) epaisseur 2;
nomme.llft(0.8I,"$\vect{\imath}$");
drawvecteur(A,J) epaisseur 2;
nomme.top(0.5J,"$\vect{\jmath}$");
drawvecteur(A,P) epaisseur 2;
nomme.lft(0.5P,"$\vect{k}$");
nomme.lft(P);
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}


On considère de plus les points $P\tuple(0;0;1)$, $Q\tuple(0;2;3)$  et  $R\tuple(1;0;3)$.



\begin{enumerate}
%\item Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en annexe qui sera à rendre avec la copie.
\item Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.

\begin{corrige}
On a $\vect{RP}\ce{-1}{0}{-2}$ et $\vect{RQ}\ce{-1}{2}{0}$.

Alors $RP^2 = (-1)^2 + 0^2 + (-2)^2 = 1 + 0 + 4 = 5$, donc $RP = \sqrt{5}$.

$RQ^2 = (-1)^2 + 2^2 + 0^2 = 1 + 4 + 0 = 5$, donc $RQ = \sqrt{5}$.

Ainsi $RP = RQ$, le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
\end{corrige}

\item Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.

\begin{corrige}
On a $\vect{RP}\ce{-1}{0}{-2}$ et $\vect{RQ}\ce{-1}{2}{0}$.

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Donc les trois points ne sont pas alignés et définissent un plan.
\end{corrige}

\item On s'intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
 \begin{enumerate}
  \item Montrer que le vecteur $\vect{u}\coord{2,1,-1}$ est normal au plan $(PQR)$.

  \begin{corrige}
  Calculons les produits scalaires :
  \[
  \vect{u} \cdot \vect{RP} = 2\times(-1) + 1\times0 + (-1)\times(-2) = -2 + 0 + 2 = 0
  \]
  \[
  \vect{u} \cdot \vect{RQ} = 2\times(-1) + 1\times2 + (-1)\times0 = -2 + 2 + 0 = 0
  \]
  $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$, donc $\vect{u}$ est normal à $(PQR)$.
  \end{corrige}

  \item En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.

  \begin{corrige}
  Un plan de vecteur normal $\vect{u}\ce{2}{1}{-1}$ a une équation de la forme $2x + y - z + d = 0$.

  Le point $R(1;0;3)$ appartient au plan, donc $2\times1 + 0 - 3 + d = 0$, soit $2 - 3 + d = 0$, d'où $d = 1$.

  Ainsi une équation cartésienne de $(PQR)$ est : $2x + y - z + 1 = 0$.
  \end{corrige}

  \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.

  \begin{corrige}
  La droite $(d)$ est orthogonale à $(PQR)$, donc elle admet $\vect{u}\ce{2}{1}{-1}$ comme vecteur directeur. Elle passe par $E(0;0;3)$, donc une représentation paramétrique est :
  \[
  (d) : \syst{x = 2t}{y = t}{z = 3 - t} \quad (t \in \R)
  \]
  \end{corrige}

  \item Montrer que le point $L\tuple(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{8}{3})$  est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.

  \begin{corrige}
  Le projeté orthogonal $L$ de $E$ sur $(PQR)$ est l'intersection de $(d)$ avec $(PQR)$.

  \begin{align*}
  L(x;y;z) \in (d) \cap (PQR) &\ssi \begin{cases}
  2x + y - z + 1 = 0 \\ x = 2t \\ y = t \\ z = 3 - t
  \end{cases} \\
  &\ssi 2(2t) + t - (3 - t) + 1 = 0 \text{~~~~~(avec $(x,y,z)$ donné par $(d)$)} \\
  &\ssi 4t + t - 3 + t + 1 = 0 \\
  &\ssi 6t - 2 = 0 \\
  &\ssi t = \dfrac{1}{3}
  \end{align*}

  Alors $\syst{x &= 2 \times \dfrac13}{y &= \dfrac13}{z&=3 - \dfrac13}$

\medskip

  Donc $L\left(\dfrac23;\dfrac13;\dfrac83\right)$ est bien le point d'intersection, donc le projeté orthogonal de $E$ sur $(PQR)$.
  \end{corrige}

  \item Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.

  \begin{corrige}
  On a $\vect{EL}\ce{\dfrac23}{\dfrac13}{-\dfrac13}$.

  \medskip

  Alors $EL^2 = \left(\dfrac23\right)^2 + \left(\dfrac13\right)^2 + \left(-\dfrac13\right)^2 = \dfrac69 = \dfrac23$.

  \medskip

  Donc $EL = \sqrt{\dfrac23} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

\item En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac23$.

\begin{corrige}
Par propriété du cube, $EQR$ est rectangle en $E$ ($E$ est un coin).

\medskip

L'aire de $EQR$ est donc $\mathcal{A}(EQR)=\dfrac12 \times EQ \times ER = \dfrac12 \times 2 \times 1 = 1$ u.a.

\medskip


La hauteur du tétraèdre issue de $P$ est la distance de $P$ au plan $(EQR)$.

et cette hauteur est $[PE]$ car par propriété du cube $[PE]$ perpendiculaire à $(EQR)$.


On a $PE=2$ et donc  $\mathcal{V}(EPQR) = \dfrac13 \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} $.

ce qui nous donne :

\[
 \mathcal{V}(EPQR) = \dfrac13 \times 1 \times 2 = \dfrac23 \text{u.v.}
\]

\end{corrige}

\item Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle $PQR$.

\begin{corrige}
On a deux façons de calculer le volume du tétraèdre $EPQR$ :
\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
\item Avec la base $EQR$, on a trouvé $\mathcal{V} = \dfrac23$.
\item Avec la base $PQR$, la hauteur est la distance de $E$ au plan $(PQR)$, soit $EL = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
\end{enumerate}

Donc $\mathcal{V} = \dfrac13 \times \mathcal{A}(PQR) \times \dfrac{\sqrt{6}}{3} = \dfrac{\sqrt{6}}{9} \times \mathcal{A}(PQR)$.

Ainsi $\dfrac{\sqrt{6}}{9} \times \mathcal{A}(PQR) = \dfrac23$, d'où :
\[
\mathcal{A}(PQR) = \dfrac23 \times \dfrac{9}{\sqrt{6}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \text{ u.a.}
\]
\end{corrige}
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice}{5}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\oinf$ par :
\[f(x) = (2-\ln (x)) \times \ln (x)\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\oinf$.

On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C'$ la courbe représentative de la fonction $f'$, fonction dérivée de la fonction $f$.

La \textbf{courbe} $\boldsymbol{C}'$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

\newcommand{\rappel}{\fcolorbox{black}{white}{\parbox{8cm}{On rappelle que cette courbe $C'$ est la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$}}}

\begin{center}
\begin{mplibcode}
repere(-2,17.5,0.63cm,-0.4,2.2,3.5cm);
setall(0,17.5,-0.4,2.2);
draw quadrillage(1,0.2);
draw axex(1,1);
draw axey(0.2,0.2);
vardef f(expr x)= 2*(1-ln(x))/x enddef;
path C',T;
C'=courbefonc(f)(0.5,17.5);
T=(0,-0.271)--(17.5,-0.271);
draw C' epaisseur 1 couleur rouge;
nomme.rt(C',1.22) couleur rouge;
draw T epaisseur 1 couleur 0.5cyan;
draw (7.389,0)--(7.389,-0.271) dashed evenly epaisseur 1 couleur 0.5cyan;
nomme.bot(T,1.5,"(T)") couleur 0.5cyan;
label("\rappel",(9.5,1.7));
fin;
\end{mplibcode}
\end{center}



\begin{enumerate}
 \item Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :

 \begin{enumerate}
  \item le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d'abscisse 1.

  \begin{corrige}
  Le coefficient directeur de la tangente à $C$ en $x=1$ est $f'(1)$. Graphiquement, sur la courbe $C'$, pour $x=1$, on lit $f'(1) \approx 2$.
  \end{corrige}

  \item le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

  \begin{corrige}
  $f$ est convexe lorsque $f''(x) \geq 0$, c'est-à-dire lorsque $f'$ est croissante. Graphiquement, $f'$ est croissante sur $[0;\mathrm{e}^2] \approx [0;7,4]$.
  Donc $f$ est convexe sur $[0;\mathrm{e}^2]$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

 \item \begin{enumerate}
  \item Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

  \begin{corrige}
  Pour $x > 0$, $f(x) = 2\ln x - (\ln x)^2$.
  On pose $X = \ln x$. Quand $x \to +\infty$, $X \to +\infty$.
  Alors $f(x) = -X^2 + 2X = X(-X + 2)$.
  $\limite{X}{\pI} -X^2 + 2X = -\infty$, donc $\limite{x}{\pI} f(x) = -\infty$.
  \end{corrige}

  \item Calculer $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.

  \begin{corrige}
  Quand $x \to 0^+$, $\ln x \to -\infty$. On pose $X = \ln x$, alors $X \to -\infty$.
  $f(x) = -X^2 + 2X = X(-X + 2)$.
  Quand $X \to -\infty$, $-X^2 \to -\infty$, donc $\limite{x}{0^+} f(x) = -\infty$.

  Graphiquement, cela signifie que la courbe $C$ admet l'axe des ordonnées comme asymptote verticale.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

 \item Montrer que la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.

 \begin{corrige}
  $f(x)=0 \iff (2-\ln x)\ln x = 0 \iff \ln x = 0 \text{ ou } \ln x = 2$.

  $\ln x = 0 \iff x = 1$.

  $\ln x = 2 \iff x = \mathrm{e}^2$.

  Donc la courbe $C$ coupe l'axe des abscisses aux points $A(1;0)$ et $B(\mathrm{e}^2;0)$.
 \end{corrige}

 \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $\oinf$ : \[ f'(x) = \dfrac{2(1-\ln (x))}{x} \]

  \begin{corrige}
  Pour $x>0$, $f(x) = 2\ln x - (\ln x)^2$.
  \begin{align*}
  f'(x) &= \dfrac{2}{x} - 2\ln x \times \dfrac{1}{x} \\
  &= \dfrac{2 - 2\ln x}{x} \\
  &= \dfrac{2(1-\ln x)}{x}
  \end{align*}
  \end{corrige}

  \item En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\oinf$.

  \begin{corrige}
  Sur $\oinf$, $x>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $1-\ln x$.

  $1-\ln x \geq 0 \iff \ln x \leq 1 \iff x \leq \mathrm{e}$.

  On a donc le tableau de variations suivant :

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $f'(x)$ / 1, Variations de $f$ / 2}
  { $0$ , $\mathrm{e}$ , $+\infty$}
  \tkzTabLine{ ,+,z,-, }
  \tkzTabVar{ -/$-\infty$, +/$1$, -/$-\infty$ }
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  $f(\mathrm{e}) = (2-1)\times 1 = 1$.
  \end{corrige}
 \end{enumerate}

 \item On note $f''$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $\oinf$ : \[ f''(x) = \dfrac{2(\ln( x)-2)}{x^{2}} \]

 Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d'inflexion de la courbe $C$.

 \begin{corrige}
  Sur $\oinf$, $x^2 > 0$, donc $f''(x)$ est du signe de $\ln x - 2$.

  $f''(x) \geq 0 \iff \ln x - 2 \geq 0 \iff \ln x \geq 2 \iff x \geq \mathrm{e}^2$.

  On a donc le tableau de convexité suivant :

  \begin{center}
  \begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $f''(x)$ / 1, Convexité de $f$ / 2}
  { $0$ , $\mathrm{e}^2$ , $+\infty$}
  \tkzTabLine{ ,-,z,+, }
  \tkzTabLine{ , concave,t, convexe, }
  \end{tikzpicture}
  \end{center}

  Ainsi, $f$ est concave sur $]0;\mathrm{e}^2]$ et convexe sur $[\mathrm{e}^2;+\infty[$.

  $f''$ s'annule et change de signe en $x = \mathrm{e}^2$, donc la courbe $C$ admet un point d'inflexion en ce point.

  $f(\mathrm{e}^2) = (2-2)\times 2 = 0$, donc le point d'inflexion a pour coordonnées $I(\mathrm{e}^2;0)$.
 \end{corrige}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}