\documentclass[12pt]{article} \input{Preambule-lua.tex} \usepackage{calligra} \usepackage{libertinus} %% Bien, pour la police texte % \usepackage{stix2} % pour la police texte mais j'ai des erreurs \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}. \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm} \setboolean{solution}{true} %\setboolean{solution}{false} \begin{document} \pagestyle{empty} \devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 10} : Intégrales (1h30)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 26 janvier 2026}} \setlength{\columnseprule}{.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \setcounter{exercice}{0} \begin{exercice} %bac 2025 On considère $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par : \[f_n(x) = x^n \e^{1 - x}.\]\index{fonction exponentielle} On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur $[0~;~1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par \begin{center}$u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x) \:\text{d}x$ \quad c'est-à-dire \quad $u_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \e^{1-x} \: \text{d}x$.\end{center} On admet que $u_1 = \e - 2$. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2, \mathcal{C}_3, \mathcal{C}_{4}$\: et \: $\mathcal{C}_{20}$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $u_n$. \begin{corrige} $f_n$ est une fonction positive sur $[0;1]$ (car $x^n \geq 0$ et $\e^{1-x}>0$). Donc par propriété, $u_n$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$. \end{corrige} \item Par lecture de ce graphique, quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(u_n)$ ? \begin{corrige} Sur le graphique, on observe que lorsque $n$ augmente, la courbe $\mathcal{C}_n$ se rapproche de l'axe des abscisses. On peut donc conjecturer que la suite $(u_n)$ converge vers $0$. \end{corrige} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $x \in [0~;~1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant x^{n+1} \leqslant x^n\]. \begin{corrige} Pour $x\in[0;1]$, on a $0\leq x \leq 1$. En multipliant par $x^n \geq 0$, on obtient : \[0 \leq x^{n+1} \leq x^n\] \end{corrige} \item En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n.\] \begin{corrige} De l'inégalité précédente, on obtient en multipliant par $\e^{1-x}>0$ : \[0 \leq x^{n+1}\e^{1-x} \leq x^n\e^{1-x}\] Par intégration sur $[0;1]$ avec les bornes dans l'ordre, on a : \[\int_0^1 0 \dx \leq \int_0^1 x^{n+1}\e^{1-x}\dx \leq \int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx\] soit $0 \leq u_{n+1} \leq u_n$. \end{corrige} \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell\geq 0$. \begin{corrige} La suite $(u_n)$ est décroissante d'après la question précédente et minorée par $0$. Par théorème, une suite décroissante et minorée converge vers une limite $\ell \geq 0$. \end{corrige} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[u_{n+1} = (n + 1)u_n - 1.\] \begin{corrige} On a pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1} = \displaystyle\int_0^1 x^{n+1}\e^{1-x}\dx$. Par intégration par parties en posant : On pose $v(x)=x^{n+1}$ et $u'(x)=\e^{1-x}$. Alors $v'(x)=(n+1)x^{n}$ et $u(x)=-\e^{1-x}$. On a alors : \begin{align*} u_{n+1} &= \big[-\e^{1-x}x^{n+1}\big]_0^1 - \int_0^1 -\e^{1-x}(n+1)x^n\dx \\ &= \big[\e^{1-x}x^{n+1}\big]_1^0 + (n+1)\int_0^1 x^n\e^{1-x}\dx \\ &= -1 + (n+1)u_n \end{align*} Ainsi $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$. \end{corrige} \item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.\index{limite de suite} \begin{corrige} Soit $\ell = \limite{n}{\pI} u_n$. On a $\ell \geq 0$. De la relation $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$, on peut écrire pour $n \geq 1$ : \[u_n = \frac{u_{n+1} + 1}{n+1}\] On a $\limite{n}{\pI} u_{n+1}+1 = \ell +1$ et $\limite{n}{\pI} n+1 = \pI$. Alors par quotient : $\limite{n}{\pI} \frac{u_{n+1} + 1}{n+1}=0$. \medskip Et donc $\limite{n}{\pI} u_{n} = 0$ \medskip Donc $\ell = 0$. \end{corrige} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \begin{mplibcode} u:=5cm; repere(-0.2,1.2 ,1u,-0.2,1.2,1u); path C[]; vardef fa(expr x)=x**1*exp(1-x) enddef; vardef fb(expr x)=x**2*exp(1-x) enddef; vardef fc(expr x)=x**3*exp(1-x) enddef; vardef fd(expr x)=x**4*exp(1-x) enddef; vardef fe(expr x)=x**10*exp(1-x) enddef; vardef ff(expr x)=x**20*exp(1-x) enddef; C[1]=courbefonc(fa,0,1,100); C[2]=courbefonc(fb,0,1,100); C[3]=courbefonc(fc,0,1,100); C[4]=courbefonc(fd,0,1,100); C[10]=courbefonc(fe,0,1,100); C[20]=courbefonc(ff,0,1,100); draw quadrillage(1,1) withcolor 0.2white dashed evenly; draw axesn(1,1) withpen pencircle scaled 0.8; % draw base(O,i,j); draw axex(1,1); draw axey(1,1); % for i=1 upto 3 : % draw C[i] withpen pencircle scaled 1; % nomme.ulft(C[i],0.5); % endfor draw C[1] withpen pencircle scaled 1 withcolor (1,.5,0); nomme.ulft(C[1],0.5) withcolor (1,.5,0); draw C[2] withpen pencircle scaled 1 withcolor (.8,.5,.5); nomme.ulft(C[2],0.5) withcolor (.8,.5,.5); draw C[3] withpen pencircle scaled 1 withcolor (.25,.5,.5); nomme.ulft(C[3],0.5) withcolor (.25,.5,.5); draw C[4] withpen pencircle scaled 1 withcolor red; nomme.lft(C[4],0.7) withcolor red; draw C[20] withpen pencircle scaled 1 withcolor blue; nomme.ulft(C[20],0.9) withcolor blue; % draw cadre withpen pencircle scaled 2; fin; \end{mplibcode} \end{center} \end{exercice} \begin{exercice} %Bac 2017 On définit les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: \[f(x) = x\mathrm{e}^{-x} + \ln(x + 1)\qquad\text{ et }\qquad g(x) =\ln(x + 1).\] On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques respectives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé. \bigskip \begin{enumerate} \item Pour un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on appelle $M$ le point de coordonnées $(x~;~f(x))$ et $N$ le point de coordonnées $(x~;~g(x))$ : $M$ et $N$ sont donc les points d'abscisse $x$ appartenant respectivement aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle la distance $MN$ est maximale et donner cette distance maximale. \begin{corrige} Sur $[0;+\infty[$, $x\e^{-x}\geq 0$, donc $f(x)\geq g(x)$. Alors on a On a $MN = f(x) - g(x) = x\e^{-x}$. On pose $h(x) = x\e^{-x}$ sur $[0;+\infty[$. Etudions cette fonction. Pour $x\geq 0$ : $h'(x) = \e^{-x} - x\e^{-x} = (1-x)\e^{-x}$. Le signe de $h'(x)$ est celui de $(1-x)$ car $\e^{-x}>0$. On déduit donc le tableau de variations suivant : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $h'(x)$ / 1, $h$ / 2} { $0$ , $1$ , $\pI$} \tkzTabLine{ ,+,z,-, } \tkzTabVar{ -/$0$ , +/$\e^{-1}$ , -/$0$ }% \end{tikzpicture} \end{center} La distance $MN$ est donc maximale pour $x=1$ et vaut $h(1) = \e^{-1} \text{u.l.}$. \end{corrige} \item Placer sur le graphique les points $M$ et $N$ correspondant à la valeur maximale de $MN$. \begin{corrige} Pour $x=1$, on a $f(1) = 1\times\e^{-1} + \ln(2) = \e^{-1} + \ln 2$ et $g(1) = \ln 2$. Les points $M(1; \e^{-1} + \ln 2)$ et $N(1; \ln 2)$ sont placés sur le graphique (à main levée ou par lecture). \end{corrige} \end{enumerate} \item Soit $\lambda$ un réel appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$. On note $D_{\lambda}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \lambda$. \begin{enumerate} \item Hachurer le domaine $D_{\lambda}$ correspondant à la valeur $\lambda$ proposée sur le graphique. \begin{corrige} Le domaine $D_{\lambda}$ est hachuré sur le graphique fourni. (Question graphique) \end{corrige} \item On note $A_{\lambda}$ l'aire du domaine $D_{\lambda}$, exprimée en unités d'aire. Démontrer que : \[A_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda+1}{\mathrm{e}^{\lambda}}.\] \begin{corrige} Pour tout $x\geq 0$, on a $f(x) \geq g(x)$ (car $x\e^{-x} \geq 0$). Donc par propriété, l'aire du domaine $D_{\lambda}$ délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \lambda$ est : \begin{align*} A_{\lambda} &= \int_0^{\lambda} [f(x) - g(x)] \dx \\ &= \int_0^{\lambda} x\e^{-x} \dx \end{align*} Par intégration par parties : On pose $u'(x)=\e^{-x}$ et $v(x)=x$, alors $u(x)=-\e^{-x}$ et $v'(x)=1$. \begin{align*} A_{\lambda} &=\int_0^{\lambda} x\e^{-x} \dx \\ &= \big[-x\e^{-x}\big]_0^{\lambda} + \int_0^{\lambda} \e^{-x}\dx \\ &= -\lambda\e^{-\lambda} + \big[-\e^{-x}\big]_0^{\lambda} \\ &= -\lambda\e^{-\lambda} - \e^{-\lambda} + 1 \\ &= 1 - (\lambda+1)\e^{-\lambda} \end{align*} Ainsi $A_{\lambda} = 1 - \dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}}$. \end{corrige} \item Calculer la limite de $A_{\lambda}$ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty$ et interpréter le résultat. \begin{corrige} On a : $ \dfrac{\lambda+1}{\e^{\lambda}} = \dfrac{\lambda}{\e^{\lambda}} + \dfrac{1}{\e^{\lambda}}$. On a $\limite{\lambda}{\pI} \dfrac{\lambda}{\e^{\lambda}} = 0$ par croissance comparée, et par quotient $\limite{\lambda}{\pI} \dfrac{1}{\e^{\lambda}} = 0$ \medskip Donc par somme $\limite{\lambda}{\pI} A_{\lambda} = 1$. \medskip L'aire du domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur $[0;+\infty[$ est égale à 1 unité d'aire. \end{corrige} \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : % % \begin{lstlisting}[language=python] % def mystere(S): % t=0 % while 1-(t+1)/exp(t) < S: % t=t+1 % return(t) % \end{lstlisting} \smallskip \begin{enumerate} \item Quelle valeur affiche cet algorithme si on saisit la valeur $S=0,8$ ? \begin{corrige} On cherche le plus petit entier $t$ tel que $1 - \dfrac{t+1}{\e^t} \geq 0,8$, soit $\dfrac{t+1}{\e^t} \leq 0,2$. Par tests successifs : \begin{enumerate}[label=$\bullet$] \item $t=0$ : $\dfrac{1}{1}=1 > 0,2$ \item $t=1$ : $\dfrac{2}{\e} \approx 0,736 > 0,2$ \item $t=2$ : $\dfrac{3}{\e^2} \approx 0,406 > 0,2$ \item $t=3$ : $\dfrac{4}{\e^3} \approx 0,199 < 0,2$ \end{enumerate} L'algorithme s'arrête donc pour $t=3$. En fait cet alogorithme augmente $t$ de 1 en 1 tant que $A(t)}(0,0)(1,1) %\uput[d](0.5,0){$\v{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\v{\jmath}$} \def\f{x 2.7183 -1 x mul exp mul x 1 add ln add} \def\g{x 1 add ln} %%% retirer les % devant les lignes qui suivent pour avoir le domaine hachuré %\def\inf{0} \def\sup{3.67} %\pscustom[fillstyle=vlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=gray] %{ %\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] %\psplot{\sup}{\inf}{\g} %\closepath % indispensable ! %} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{\xmax}{\f} \psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{\xmax}{\g} \psline(3.67,0.05)(3.67,-0.05) \uput[d](3.67,0){$\lambda$} \uput[u](4.1,1.7){\red $\mathcal{C}_f$} \uput[d](4.1,1.63){\blue $\mathcal{C}_g$} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} \end{exercice} \begin{exercice} On considère la fonction $F$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par \[ F(x) = \int_{1}^{x} (1 + \e^{-t}) \ln t \, dt \] \begin{enumerate} \item Quel est le signe de $F(x)$ suivant les valeurs de $x$ ? \begin{corrige} On note $h(t) = (1 + \e^{-t}) \ln t$ pour $t>0$. \medskip Pour tout $t>0$, on a $1 + \e^{-t} > 0$. \medskip Le signe de $h(t)$ est donc celui de $\ln t$ : \begin{enumerate}[label=$\bullet$] \item Si $t\in]0;1]$, alors $\ln t < 0$ donc $h(t) \leq 0$. % \item Si $t = 1$, alors $\ln 1 = 0$ donc $h(1) = 0$. \item Si $t \geq 1$, alors $\ln t > 0$ donc $h(t) \geq 0$. \end{enumerate} Par définition, $F(x) = \displaystyle\int_1^x h(t) \dt$. \begin{enumerate}[label=$\bullet$] % \item Si $x = 1$, alors $F(1) = 0$. \item Si $x \geq 1$, alors l'intégrale est prise sur $[1;x]$ avec $h(t) \geq 0$, donc $F(x) \geq 0$. \item Si $0 < x < 1$, alors les bornes ne sont plus dans l'ordre ($x<1$) et on a donc (en inversant les bornes): \begin{align*} F(x) &= -\displaystyle\int_x^1 h(t) \dt \\ &= \displaystyle\int_x^1 -h(t) \dt \end{align*} avec $-h(t) \geq 0$ sur $[x;1]$, et donc par théorème de positivité $F(x) \geq 0$ également. \end{enumerate} Ainsi, $F(x) \geq 0$ pour tout $x > 0$, et $F(x) = 0$ seulement pour $x = 1$. \end{corrige} \item Définir $F$ comme la primitive d'une certaine fonction $f$ que vous définirez. \begin{corrige} Par propriété du cours, $F$ est la primitive de $f(t) = (1 + \e^{-t})\ln t$ qui s'annule en $1$. \medskip Ainsi, pour tout $x > 0$, $F'(x) = f(x) = (1 + \e^{-x})\ln x$. \end{corrige} \item Étudier le sens de variations de la fonction $F$. \begin{corrige} On a $F'(x) = (1 + \e^{-x})\ln x$. Pour tout $x > 0$, on a $1 + \e^{-x} > 0$, donc le signe de $F'(x)$ est celui de $\ln x$. On déduit le tableau de variations de $F$ : \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{ $x$ / 1, $\ln x$ / 1, $F'(x)$ / 1 , $F$ / 2} { $0$ , $1$ , $\pI$} \tkzTabLine{ ,-,z,+, } \tkzTabLine{ ,-,z,+, } \tkzTabVar{ +/$ $ , -/$0$ , +/$ $ }% \end{tikzpicture} \end{center} On en déduit : \begin{enumerate}[label=$\bullet$] \item $F$ est décroissante sur $]0;1]$. \item $F$ est croissante sur $[1;+\infty[$. \item $F$ admet un minimum en $x=1$ et $F(1)=0$. \end{enumerate} \end{corrige} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout réel $x$ supérieur à $1$, \[ F(x) \geq \int_{1}^{x} \ln t \, dt \] \begin{corrige} Pour tout $t \geq 1$, on a $\e^{-t} \geq 0$, donc $1 + \e^{-t} \geq 1$. De plus, $\ln t \geq 0$ sur $[1;x]$. En multipliant cette inégalité par $\ln t \geq 0$, on obtient : \[(1 + \e^{-t})\ln t \geq \ln t\] Par intégration de l'inégalité sur $[1;x]$ (avec $x \geq 1$), on conserve le sens de l'inégalité : \[\int_1^x (1 + \e^{-t})\ln t \dt \geq \int_1^x \ln t \dt\] soit $F(x) \geq \displaystyle\int_1^x \ln t \dt$. \end{corrige} \item Déterminer par intégration par parties : $\ds\int_{1}^{x} \ln t \, dt$. \begin{corrige} Par intégration par parties : On pose $u'(t) = 1$ et $v(t) = \ln t$. Alors $u(t) = t$ et $v'(t) = \dfrac{1}{t}$. \begin{align*} \int_1^x \ln t \dt &= \big[t \ln t\big]_1^x - \int_1^x t \times \frac{1}{t} \dt \\ &= \big[t \ln t\big]_1^x - \int_1^x 1 \dt \\ &= x \ln x - (x - 1) \\ &= x \ln x - x + 1 \end{align*} \end{corrige} \item En déduire la limite de $F$ en $+\infty$. \begin{corrige} Pour $x \geq 1$, on a d'après la question 4.a : \[F(x) \geq x \ln x - x + 1\] Et $x \ln x - x + 1=x(\lnx -1) +1$, alors par produit et somme : \medskip Or $\limite{x}{\pI} (x \ln x - x + 1) = +\infty$ . \medskip Par comparaison, on en déduit que $\limite{x}{\pI} F(x) = +\infty$. \end{corrige} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}