\documentclass[12pt]{article}
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%  \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
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\setboolean{solution}{false}
\begin{document}
\pagestyle{empty}


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 12}  : Equations différentielles (30min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 20 avril 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

 \begin{exercice}
% On suppose que $g$ est une solution de l'équation différentielle
% suivante telle que   $g(0) = 1$ et qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'\'equation différentielle

On considère l'équation différentielle sur $[0;\pI[$ :

\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y)\]

Soit $y$ une fonction $y$ dérivable qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$. On pose $z = \dfrac{1}{y}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$ est solution de l'équation différentielle :
		\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]

\begin{corrige}


En se souvenant que si $z = \dfrac{1}{y}$, alors $z'= -\dfrac{y'}{y^2}$, on a en enchaînant les équivalences :
\begin{align*}
z \text{ solution de $(E_1)$} &\ssi z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}\\
								&\ssi -\dfrac{y'}{y^2}=  - \dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{20}\\
								&\ssi y'=   \dfrac{y}{2} - \dfrac{y^2}{20}\\
								&\ssi y'= \dfrac{1}{20}y(10 - y) \\
								&\ssi y \text{ solution de (E)}
\end{align*}
 On a donc montré :
\[
y \text{ solution de (E)} \ssi z \text{ solution de (E}_{1}).
\]
\end{corrige}

		\item  Résoudre l'équation (E$_{1}$)

\begin{corrige}

\[(\text{E}_{1})\quad  : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]

 On reconnaît  une équation différentielle de la forme $y'=ay+b$ avec $a=- \dfrac{1}{2}$ et $b=\dfrac{1}{20}$. Par propriété les solutions sont les fonctions de la forme :

\[
z(x) = C\e^{-\frac{1}{2}x} + \dfrac{1}{10}, \qquad C \in \R.
\]

\end{corrige}

		\item  En déduire les solutions de l'équation (E).

\begin{corrige}
On a donc :
\begin{align*}
y \text{ solution de (E)} &\ssi z \text{ solution de (E}_{1}). \\
						 &\ssi z(x) = C\e^{-\frac{1}{2}x} + \dfrac{1}{10} \\
						  &\ssi  \dfrac{1}{y(x)}= C\e^{-\frac{1}{2}x} + \dfrac{1}{10} \\
						  &\ssi y(x) = \dfrac{1}{C\e^{-\frac{1}{2}x} + \dfrac{1}{10}}
\end{align*}
%
% On a $y = \dfrac{1}{z}$. Les solutions de (E) sont donc définies pour tout $x$ tel que $z(x) \neq 0$ (et $y$ ne s'annule pas) par :
% \[
% y(x) = \dfrac{1}{C\e^{-\frac{1}{2}x} + \dfrac{1}{10}} = \dfrac{10}{10C\e^{-\frac{1}{2}x} + 1}.
% \]
% En posant $K = 10C$ (constante réelle), on obtient finalement :
% \[
% y(x) = \dfrac{10}{K\e^{-\frac{1}{2}x} + 1}.
% \]
\end{corrige}

		\item Déterminez la solution $y$ qui satisfait $y(0)=1$

\begin{corrige}
De plus :
\begin{align*}
y(0)=1 &\ssi   \dfrac{1}{C + \dfrac{1}{10}} =1\\
			&\ssi  C + \dfrac{1}{10} =1\\
			&\ssi  C = \dfrac{9}{10} \\
\end{align*}

En conséquence la solution cherchée est :


\[
y(x) = \dfrac{10}{9\e^{-\frac{1}{2}x} + 1}.
\]
\end{corrige}
		\end{enumerate}

 \end{exercice}


 \begin{exercice}

On considère l'équation différentielle

\[(E) \::\qquad y' +3y = \e^{-3t},\]

d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E') : \:\: y' + 3y = 0$.

\begin{corrige}

 On reconnaît  une équation différentielle de la forme $y'=ay$ avec $a=-3$. Par propriété les solutions sont les fonctions définies sur $\R$ par :
\[
y(t) = C\e^{-3t}, \qquad C \in \R.
\]
\end{corrige}

\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(t) = at\e^{-3t}$ avec $a \in \R$.

Déterminer la valeur de $a$ telle que la fonction $u$ soit solution de l'équation $(E)$.

\begin{corrige}
Il suffit d'injecter $u$ dans $(E)$ pour trouver une condition sur $a$.

On a pour $t\in\R$ :
\[
u'(t)  = a\e^{-3t} -3at\e^{-3t} = a(1-3t)\e^{-3t}.
\]

Donc :
\begin{align*}
u \text{ solution de (E)} &\ssi u'(t)+3u(t) =  \e^{-3t}\\
						 &\ssi 	a(1-3t)\e^{-3t} + 3at\e^{-3t}= \e^{-3t}\\
						&\ssi a\e^{-3t} = \e^{-3t}\\
						 &\ssi  a=1\\
\end{align*}

Ainsi, la fonction $u(t)=t\e^{-3t}$ est une solution particulière de $(E)$.
\end{corrige}

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\begin{corrige}
Par propriété les solutions $(E)$ sont la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation homogène $(E')$.

D'après la question 1, la solution générale de $(E')$ est $y(t)=C\e^{-3t}$ ($C\in\R$).

D'après la question 2, $u(t)=t\e^{-3t}$ est une solution particulière de $(E)$.

Ainsi, l'ensemble des solutions de $(E)$ sur $\R$ est donné par :
\[
f(t) = C\e^{-3t} + t\e^{-3t}  = (C+t)\e^{-3t} , \qquad C \in \R.
\]
\end{corrige}

\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exerciced}
 On considère une fonction $u$ continue sur $\R$ et l'équation différentielle :

 \[
  (E) : y'+u(x)y=0
 \]

 Soit $U$ une primitive de la fonction $u$.

 Montrer que les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions définie sur $\R$ de la forme

 \[f(x)=C\e^{-U(x)} \text{~~~~où $C\in\R$}\]


 Appliquer ce résultat pour résoudre
 \[(F) : y'-(1+2x)y=0\]
\begin{corrige}
D'abord les fonctions de la forme $f(x)=C\e^{-U(x)}$ sont bien solutions :

En effet, on a
\begin{align*}
f'(x)+u(x)f(x) &= -CU'(x)\e^{-U(x)}+u(x)C\e^{-U(x)} \\
&= -Cu(x)\e^{-U(x)}+u(x)C\e^{-U(x)} \\
&= 0
\end{align*}

Et donc $f$ solution de $(E)$.

Réciproquement :

Soit $f$ une solution quelconque. Montrons qu'elle est de la forme $x\longmapsto C\e^{-U(x)}$.

\medskip

On introduit une fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)=f(x)\e^{U(x)}$ pour $x\in\R$.

\begin{align*}
\varphi'(x) &= f'(x)\e^{U(x)} + f(x) \times U'(x)\e^{U(x)} \\
&= \e^{U(x)}\left(f'(x) + U'(x)f(x)\right) \\
&= \e^{U(x)}\left(f'(x) + u(x)f(x)\right)\\
&=0 \text{~~~~~~~~~(car $f$ solution de $(E)$)}
\end{align*}

Ainsi $\varphi$ est une fonction constante et donc il existe $C\in\R$ telle que $\varphi(x)=C$.

On a alors pour $x\in \R$ : $f(x)\e^{U(x)}=C$ et donc $f(x)=C\e^{-U(x)}$.


\bigskip

Les solutions de (E) sont donc exactement les fonctions $f(x)=C\e^{-U(x)}$, $C\in\R$.


\bigskip

{\bf Résolution de $(F)$.}

 $x\longmapsto 1+2x$ a pour primitive  $x\longmapsto x+x^2$, donc les solutions de $(F)$ sont les fonctions de la forme :

 $f(x)=C\e^{x^2+x}$ avec $C\in\R$.
\end{corrige}

\end{exerciced}

\end{document}
