\documentclass[12pt]{article}
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\begin{document}
\pagestyle{empty}


\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 13}  : Probabilités (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 30 avril 2026}}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice}\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
%[Bac 2022]


\textbf{Partie 1}

\medskip

Julien doit prendre l'avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l'aéroport.

S'il prend le bus de $8$~h, il est sûr d'être à l'aéroport à temps pour son vol.

Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d'arriver à temps à l'aéroport.

Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu'il manque son bus est de $0,8$.

S'il manque son bus, il se rend à l'aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d'être à l'heure à l'aéroport.

\smallskip

On notera :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement: \og Julien réussit à prendre son bus \fg ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement: \og Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $P_B(V)$.
\begin{corrige}
 D'après l'énoncé $P_B(V)=1$
\end{corrige}

\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\begin{corrige}
 D'après l'énoncé et la loi des noeuds, on a :
 \begin{center}
   \includegraphics[scale=.5]{arbre.png}
 \end{center}


\end{corrige}
\item Montrer que $P(V) = 0,6$.
\begin{corrige}
  $B$ et $\bar{B}$ forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales :
\begin{align*}
P(V) &= P(B \cap V) + P(\bar{B} \cap V) \\
&= P(B) \times P_B(V) + P(\bar{B}) \times P_{\bar{B}}(V) \\
&= 0,2 \times 1 + 0,8 \times 0,5 \\
&= 0,2 + 0,4 \\
&= 0,6
\end{align*}
\end{corrige}

\item Si Julien est à l'heure à l'aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé à l'aéroport en bus ? Justifier.

\begin{corrige}

4. On cherche $P_V(B)$ :
\begin{align*}
P_V(B) &= \frac{P(V \cap B)}{P(V)} \\
&= \frac{P(B) \times P_B(V)}{P(V)} \\
&= \frac{0,2}{0,6} \\
&= \frac{1}{3}
\end{align*}
\end{corrige}

\end{enumerate}

% \newpage
\textbf{Partie 2}

\medskip

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu'il n'y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l'embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5\,\% de chance de ne pas se présenter à l'embarquement.

Considérons un vol dans un avion de $200$~places pour lequel $206$~billets ont été vendus.
On suppose que la présence à l'embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l'embarquement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\begin{corrige}
 On a une expérience de Bernoulli qui consiste à déterminer si un passager prend son vol ou non.

L'issue \og succès \fg~ correspond au fait que le passager prend son vol, avec une probabilité $p = 0,95$.

On a $n = 206$ passagers qui prennent leur vol indépendamment les uns des autres.

L'expérience est donc assimilable à la répétition de manière indépendante de 206 expériences de Bernoulli.
Par suite, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale :
\begin{align*}
X \sim \mathcal{B}(206\,;\,0,95)
\end{align*}
\end{corrige}

\item En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l'embarquement ?
\begin{corrige}
 L'espérance est donnée par :
\begin{align*}
E(X) &= n \times p \\
&= 206 \times 0,95 \\
&= 195,7
\end{align*}
En moyenne, 196 passagers se présentent.
\end{corrige}

% \item Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l'embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
% \item Calculer $P(X \leqslant 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction \textbf{binomiale$(i, n, p)$} créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
def proba(k):\\
\quad  P=0\\
\quad for i in range(0,k+1) :\\
\qquad P=P+binomiale(i,206,0.95)\\
\quad return P\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(200) dans la console Python.

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\begin{corrige}
 Si on tape \texttt{proba(200)}, le programme calcule :
\begin{align*}
P &= P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=200) \\
&= \sum_{k=0}^{200} P(X=k) \\
&= P(X \le 200)
\end{align*}
D'après la calculatrice : $P(X \le 200) \approx 0,948$.

La probabilité que tous les passagers qui se présentent volent (aucun passager n'est refusé) est de 0,948.

\end{corrige}

\item La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.

Si plus de $200$ passagers se présentent à l'embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d'avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.

On appelle :

\setlength\parindent{12mm}
\begin{description}
\item[ ] $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer
bien qu'ayant acheté un billet;
\item[ ] $C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d'affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
\end{description}

On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_i$					&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$P\left(Y = y_i\right)$	&\np{0,94775}&\np{0,03063}&\np{0,01441}&\np{0,00539}&\np{0,00151}&\np{0,00028}& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
        \item Justifier la valeur correspondant à $P(Y = 1)$.
        \begin{corrige}
          Soit $Y$ la variable aléatoire. $Y=1$ signifie qu'un passager est refusé.

          Cela correspond au cas où 201 personnes se présentent.
\begin{align*}
P(Y=1) &= P(X=201) \\
&= \binom{206}{201} \times 0,95^{201} \times 0,05^{5} \\
&\approx 0,03063
\end{align*}
        \end{corrige}

		\item Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
		\begin{corrige}
		 La somme des probabilités doit être égale à 1.
\begin{align*}
P(Y=6) &= 1 - \sum_{k=0}^{5} P(Y=k) \\
&\approx 0,00003
\end{align*}

		\end{corrige}

		\item Justifier que: $C = \np{51500} - 850Y$.
		\begin{corrige}
		 La compagnie vend 206 billets pour un prix de $206 \times 250 = 51\,500$ €.

Elle dédommage $Y$ personnes avec 850 € par personne.

Le chiffre d'affaires est donc :
\begin{align*}
C = 51\,500 - 850Y
\end{align*}

		\end{corrige}

		\item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d'un tableau.

Calculer l'espérance de la variable aléatoire $C$ à l'euro près.\index{espérance}

		\begin{corrige}
		  Loi de probabilité de $C$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$c_i$ & 51500 & 50650 & 49800 & 48950 & 48100 & 47250 & 46400 \\ \hline
$P(C=c_i)$ & 0,94775 & 0,03063 & 0,01441 & 0,00539 & 0,00151 & 0,00028 & 0,00003 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

L'espérance du chiffre d'affaires est :
\begin{align*}
E(C) &= \sum c_i P(C=c_i) \\
&= 51500 \times 0,94775 + 50650 \times 0,03063 + \dots \\
&\approx 51\,429 \text{ \euro}
\end{align*}


		\end{corrige}


		\item Comparer le chiffre d'affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d'affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.

		\begin{corrige}
		 Le chiffre d'affaires moyen avec surbooking est de 51\,429 \euro{}.
Sans surbooking (200 billets), il serait de $200 \times 250 = 50\,000$ \euro{}.
La compagnie gagne donc 1\,429 \euro{} de plus par vol.
		\end{corrige}

	\end{enumerate}

	\item La compagnie aime prendre des risques. Elle accepte décide d'augmenter le surbooking. Comment choisir le plus grand nombre possible $n$ de billets vendus pour que la probabilité de refuser des personnes à l'embarquement soit inférieure à 0,2 ?

\begin{corrige}
 Soit $n$ le nombre de billets vendus et $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0,95)$.

On cherche $n$ le plus grand possible tel que :
\begin{align*}
P(X \ge 201) \le 0,2 &\iff 1 - P(X \le 200) \le 0,2 \\
&\iff P(X \le 200) \ge 0,8
\end{align*}
D'après la calculatrice, on trouve $n = 208$.

Avec 208 billets vendus, la probabilité de refuser des personnes seraient de $0,82$ approximativement.
\end{corrige}

\end{enumerate}


\end{exercice}




\end{document}
