\documentclass[10pt]{article} \input{Preambule-lua.tex} \usepackage{calligra} % \usepackage{libertinus} %% Bien, pour la police texte % % \usepackage{stix2} % pour la police texte mais j'ai des erreurs % \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}. \usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm} \geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1.5cm} \setboolean{solution}{true} % \setboolean{solution}{false} \begin{document} \pagestyle{empty} \devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 14} : Probabilités et inégalités de concentration (1h)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 15 mai 2026}} \setlength{\columnseprule}{.5pt} \setlength{\columnsep}{30pt} \setcounter{exercice}{0} \begin{exercice} %Inspire du bac metropole 2024 juin La directrice d'une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l'examen de fin d'étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen. \smallskip Pour cette étude, on demande aux étudiants à l'issue de l'examen de répondre individuellement à la question : \og Pensez-vous avoir réussi l'examen ? \fg. Seules les réponses \og oui \fg{} ou \og non \fg{} sont possibles, et on observe que $91,7\,\%$ des étudiants interrogés ont répondu \og oui \fg. Suite à la publication des résultats à l'examen, on découvre que : \begin{itemize}[label=$\bullet~$] \item 65\,\% des étudiants ayant échoué ont répondu \og non \fg{} ; \item 98\,\% des étudiants ayant réussi ont répondu \og oui \fg. \end{itemize} On interroge au hasard un étudiant qui a passé l'examen. \smallskip On note $R$ l'évènement \og l'étudiant a réussi l'examen\fg{} et $Q$ l'évènement \og l'étudiant a répondu \og oui \fg{} à la question \fg. Dans tout l'exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $10^{-3}$ près. \medskip % \begin{minipage}{0.6\linewidth} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)$. \begin{corrige} D'après les données de l'énoncé : \[ P(Q)=0,917 \qquad \text{et} \qquad P_{\overline{R}}\left(\overline{Q}\right)=0,65 \] \end{corrige} \item On note $x$ la probabilité que l'étudiant interrogé ait réussi l'examen. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre. \begin{corrige} L'arbre pondéré complété est le suivant : \begin{center} \psset{levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}%,nrot=:U \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] {\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$x$}} {\TR{$Q$}\naput{$0,98$} \TR{$\overline Q$}\nbput{$0,02$}} \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$1-x$}} {\TR{$Q$}\naput{$0,35$} \TR{$\overline Q$}\nbput{$0,65$}}} \end{center} \end{corrige} \item Montrer que $x = 0,9$. \begin{corrige} $R$, $\overline{R}$ partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales : \begin{align*} P(Q) &= P(R) P_R(Q) + P\left(\overline{R}\right) P_{\overline{R}}(Q) \\ &= 0,98x + 0,35(1-x)\\ &= 0,63x +0,35 \end{align*} Donc \[ x=\dfrac{P(Q)-0,35}{0,63} \] et $P(Q)=0,917$, donc $x = \dfrac{0,567}{0,63} = 0,9$. \end{corrige} \item L'étudiant interrogé a répondu \og oui\fg à la question. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi l'examen ? \begin{corrige} On cherche $P_Q(R)$ : \begin{align*} P_Q(R) &= \frac{P(R \cap Q)}{P(Q)} \\ &= \frac{P(R) \times P_R(Q)}{P(Q)} \\ &= \frac{0,9 \times 0,98}{0,917} \\ &\approx 0,962 \end{align*} La probabilité qu'un étudiant ayant répondu \og oui\fg ait réussi l'examen est environ $0,962$. \end{corrige} \end{enumerate} \end{enumerate} % \end{minipage}\hfill % \begin{minipage}{0.38\linewidth} % \begin{center} % \psset{levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}%,nrot=:U % \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt] % {\TR{}} % { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{$x$}} % {\TR{$Q$}\naput{$\ldots$} % \TR{$\overline Q$}\nbput{$\ldots$}} % \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\nbput{$\ldots$}} % {\TR{$Q$}\naput{$\ldots$} % \TR{$\overline Q$}\nbput{$\ldots$}}} % \end{center} % \end{minipage} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu'elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20~;~0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats. À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65\,\% des étudiants soient récompensés ? \begin{corrige} On cherche la plus petite note $k$ telle que $P(N \geq k) \leq 0,65$ (les 65\% des meilleurs). Cela revient à chercher $k$ tel que $P(N \leq k-1) \geq 0,35$. En utilisant la calculatrice pour la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,615)$ : \begin{enumerate}[label=$\bullet$] \item $P(N \leq 11) \approx 0,324$ \item $P(N \leq 12) \approx 0,482$ \end{enumerate} Donc $P(N \leq 12) \geq 0,35$. Ainsi $k-1 = 12$ soit $k=13$. \medskip La directrice doit attribuer les récompenses à partir de la note $13$. \end{corrige} \item On interroge au hasard dix étudiants. Les variables aléatoires $N_1,\:N_2,\: \ldots ,\: N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l'examen par chacun d'entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20~;~0,615)$. Soit $S$ la variable définie par $S = N_1 + N_2 + \ldots + N_{10}$. Calculer l'espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$. \begin{corrige} Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,615)$, on a : \[ E(N_i) = np = 20 \times 0,615 = 12,3 \] \[ V(N_i) = np(1-p) = 20 \times 0,615 \times 0,385 = 4,7355 \] Par linéarité de l'espérance : \[ E(S) = E\left(\sum_{i=1}^{10} N_i\right) = \sum_{i=1}^{10} E(N_i) = 10 \times 12,3 = 123 \] Par indépendance des $N_i$ : \[ V(S) = V\left(\sum_{i=1}^{10} N_i\right) = \sum_{i=1}^{10} V(N_i) = 10 \times 4,7355 = 47,355 \] \end{corrige} \item On considère la variable aléatoire $M = \dfrac{S}{10}$. \begin{enumerate} \item Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l'exercice ? \begin{corrige} $M$ représente la moyenne des notes des dix étudiants interrogés. \end{corrige} \item Justifier que $E(M) =12,3$ et $V(M) = \np{0,47355}$. \begin{corrige} Par les propriétés de l'espérance et de la variance, on a : \[ E(M) = E\left(\frac{S}{10}\right) = \frac{1}{10} E(S) = \frac{123}{10} = 12,3 \] \[ V(M) = V\left(\frac{S}{10}\right) = \frac{1}{10^2} V(S) = \frac{47,355}{100} = 0,47355 \] \end{corrige} \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l'affirmation ci-dessous. \og La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d'au moins $80\,\%$ \fg. \begin{corrige} On rappelle l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : \[ P\left(|M - E(M)| \geq \delta\right) \leq \frac{V(M)}{\delta^2} \] Ici $E(M)=12,3$, $V(M)=0,47355$, et on prend $\delta=2$, on a alors : \[ P\left(|M - 12,3| \geq 2\right) \leq \frac{0,47355}{4} \] Ce qui nous donne : \[ P\left(M\notin ]10,3\;;\;14,3[ \right) \leq 0,1183875 \] Et donc par passage à l'événement contraire : \[ P\left(M \in ]10,3\;;\;14,3[ \right) \geq 1 - 0,1183875 = 0,8816125 \geq 0,80 \] La probabilité que la moyenne soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est donc d'au moins $88\%$, et en particulier d'au moins $80\%$. \end{corrige} \end{enumerate} \item Le BDE (le bureau des élèves) souhaite faire une étude plus poussées auprès des étudiants et a besoin d'un échantillon représentatif de 10 élèves. Ils en sélectionnent au hasard un échantillon de 10 en faisant attention de ne pas prendre des groupes d'amis mais des personnes indépendantes. Il font la moyenne de ce groupe et obtiennent 15,43. Doivent-ils se fier à ce groupe pour faire leur étude ? \begin{corrige} La moyenne obtenue est $15,43$. D'après la question précédente, la probabilité que la moyenne soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d'au moins $80\%$. La valeur observée $15,43$ est en dehors de cet intervalle. Cela correspond à un événement qui a une probabilité inférieure à $20\%$ de se produire. Il est donc peu probable que cet échantillon soit représentatif de la population des étudiants. Le BDE ne doit pas se fier à ce groupe pour son étude. \end{corrige} \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \begin{enumerate} \item Dans une classe de terminale, il y a 18 filles et 14 garçons. On constitue une équipe de volley-ball en choisissant au hasard 3 filles et 3 garçons. \textbf{Affirmation :} Il y a \np{297024} possibilités pour former une telle équipe. \begin{corrige} Le nombre de façons de choisir 3 filles parmi 18 est $\ds\binom{18}{3}$. Le nombre de façons de choisir 3 garçons parmi 14 est $\ds\binom{14}{3}$. Par principe multiplicatif, le nombre total d'équipes est : \[ \binom{18}{3} \times \binom{14}{3} = \frac{18 .17 . 16}{3 . 2 . 1} \times \frac{14 . 13 . 12}{3 . 2 . 1} = 816 \times 364 = 297024 \] L'affirmation est donc \textbf{vraie}. \end{corrige} \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}