\documentclass[11pt]{article}
\input{Preambule-lua.tex}

\usepackage{calligra}
% \usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
%  % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
%  \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm}
% \usepackage{tablvar}

\geometry{a4paper,hmargin=1cm,vmargin=1cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 2}  : Suites (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 4 octobre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(7 points)]
% inspiré du Bac 2025

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \sqrt{3x - 2}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.

\begin{corrige}
Pour $x\in[1;+\infty[$, on a $3x-2>0$ donc $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$ et :
\[
f'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}.
\]
Comme $\sqrt{3x-2}>0$ sur $[1;+\infty[$, on a $f'(x)>0$ sur $[1;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
\end{corrige}

\bigskip

On définit pour tout $n$ entier naturel, la suite $(u_n)$ par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ et  $u_0=-6$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : \[2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 6\]
		
		\begin{corrige}
		\textbf{Initialisation} ($n=0$) :
		On a $u_0=6$ et $u_1=f(6)=\sqrt{3\times6-2}=\sqrt{16}=4$.
		Donc $2\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 6$ : la propriété est vraie au rang $0$.
		
		\textbf{Hérédité} : Soit $k\in\N$. Supposons que $\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k\leqslant 6$ et montrons $2\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 6$
		

		On a :
		\begin{align*}
		 2&\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k\leqslant 6 \\
		 \text{donc~~~~~} f(2)&\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(u_k)\leqslant f(6) \text{~~~~~(car $f$ croissante sur $[1;\pI[$)} \\
		 \text{donc~~~~~~~~} 2&\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 4 \\
		 \text{donc~~~~~~~~} 2&\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 6
		\end{align*}

		L'hérédité est démontrée.
		
		\textbf{Conclusion} : Par récurrence, pour tout $n\in\N$ : $2\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 6$.
		\end{corrige}
		
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite notée $\ell$.
		
		\begin{corrige}
		D'après la question précédente, $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$.
		
		Donc, par théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\geqslant 2$.
		\end{corrige}
	\end{enumerate}


\item Démontrer que la limite $\ell$ satisfait l'équation :
\[
\ell^2=3\ell-2
\]

\begin{corrige}
On a pour $n\in\N$ :  $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{3u_n-2}$.

\bigskip


En élevant au carré :  $u_{n+1}^2=3u_n-2$.

Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, on déduit par produit des limites $\limite{n}{\pI}u_{n+1}^2=\ell^2$.

Et d'autre part, par produit et somme : $\limite{n}{\pI}3u_n-2=3\ell-2$.

Ainsi, on a

\[
\ell^2=3\ell-2.
\]
\end{corrige}


\item En déduire la valeur de $\ell$.

\begin{corrige}
On résout :
\begin{align*}
\ell^2=3\ell-2 &\ssi \ell^2-3\ell+2=0 \\
&\ssi (\ell-1)(\ell-2)=0 \text{~~~~(1 et 2 sont racines évidentes)}\\
&\ssi \ell=1 \text{ ou } \ell=2.
\end{align*}
Comme $\ell\geqslant 2$ (car $(u_n)$ est minorée par $2$), on a $\ell=2$.
\end{corrige}

\item On considère la fonction \texttt{rang} écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt($x$) renvoie la racine carrée du nombre $x$.\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{>{\cellcolor{lightgray!50}}c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def rang(a) :\\
4&\quad  u = 6\\
5&\quad n=0\\
6& \quad while u > = a :\\
7&\qquad u = sqrt(3*u - 2)\\
8&\qquad n = n+1\\
9& \quad return n\\
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que \texttt{rang}(2.000001) renvoie une valeur ?
		
		\begin{corrige}
		La suite $(u_n)$ converge vers $2$ en décroissant. Donc pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_n<2+\varepsilon$.
		
		Ici, $a=2.000001=2+10^{-6}$. Comme $(u_n)$ converge vers $2$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\geqslant N$, $u_n<2.000001$.
		
		Donc la boucle \texttt{while} s'arrête et la fonction renvoie $n$.
		\end{corrige}
		
		\item Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction \texttt{rang}($a$) renvoie-t-elle un résultat ?
		
		\begin{corrige}
		La fonction \texttt{rang(a)} renvoie un résultat si et seulement si on rentre dans la boucle \texttt{while} et qu'elle s'arrête.

		{\bf Pour rentrer : } Il faut $u\geq a$ donc $a\leq 6$.

		{\bf Pour sortir : } Il faut qu'il existe un rang $n$ tel que $u_n<a$.
		
		Comme $(u_n)$ est décroissante et converge vers $2$ par valeurs supérieures ou égales à $2$, on a $u_n\geqslant 2$ pour tout $n$.
		
		Donc :
		\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
		\item Si $a>2$, alors il existe un rang $N$ tel que $u_N<a$ (car $(u_n)$ converge vers $2$). La fonction renvoie une valeur.
		\item Si $a\leqslant 2$, alors $u_n\geqslant 2\geqslant a$ pour tout $n$, donc la boucle ne s'arrête jamais. La fonction ne renvoie pas de résultat (ou boucle indéfiniment).
		\end{enumerate}
		
		\textbf{Conclusion :} \texttt{rang(a)} renvoie un résultat si et seulement si $a\in]2;6]$.
		\end{corrige}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


 \begin{exercice}[(4 points)]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[
 u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{2}{3}n+3
\]
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1$.
 
 \begin{corrige}
 \[
 u_1=\dfrac{1}{3}\times3+\dfrac{2}{3}\times0+3=1+0+3=4.
 \]
 \end{corrige}
 
 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ :
 \[
  n\leq u_n \leq n+5
 \]
 
 \begin{corrige}
 \textbf{Initialisation} ($n=0$) :
 On a $u_0=3$ et $0\leqslant 3\leqslant 5$. La propriété est vraie au rang $0$.
 
 \textbf{Hérédité} : Soit $k\in\N$. Supposons que $k\leqslant u_k\leqslant k+5$ et montrons $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+6$.
 
 On a :
 \begin{align*}
 k \leqslant& u_k \leqslant k+5\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \dfrac13 k \leqslant& \dfrac13 u_k \leqslant \dfrac13(k+5) \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~(par produit par $\dfrac13>0$)}\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~} \dfrac13 k + \dfrac23 k + 3 \leqslant& \dfrac13 u_k + \dfrac23 k + 3 \leqslant \dfrac13(k+5)+\dfrac23 k+3 \text{~~~(par somme de $\dfrac23 k+3$)}\\
%  \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} k+3 \leqslant& u_{k+1} \leqslant k+\dfrac53+3\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} k+3 \leqslant& u_{k+1} \leqslant k+\dfrac{14}{3}
 \end{align*}
 
 Or $k+1\leqslant k+3$ et $k+\dfrac{14}{3}\leqslant k+6$.
 
 \medskip
 Donc $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+6$, ce qui démontre l'hérédité.
 
 \textbf{Conclusion} : Pour tout $n\in\N$, $n\leqslant u_n\leqslant n+5$.
 \end{corrige}
 
\item En déduire la limite de $(u_n)$.

\begin{corrige}
On a pour tout $n\in\N$ : $n\leqslant u_n\leqslant n+5$.

\medskip
On a  $\limite{n}{\pI} n=+\infty$, donc, par théorème de comparaison, $\limite{n}{\pI} u_n=+\infty$.
\end{corrige}

\item Déterminer la limite de $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.

\begin{corrige}
En reprenant l'inégalité précédente et en divisant par $n>0$ (pour $n\geqslant1$), on a :
\[
1\leqslant \dfrac{u_n}{n}\leqslant 1+\dfrac{5}{n}.
\]
Or $\limite{n}{\pI} 1+\dfrac{5}{n}=1$ donc, d'après le théorème des gendarmes :
\[
\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{n}=1.
\]
\end{corrige}
\end{enumerate}


 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(2 points)]
  Soit $(u_n)$ une suite définie pour $n\in\N$ par $u_{n+1}=-\dfrac12 u_n^2$ et $u_0=-1$.

  On admettra (simple démonstration par récurrence) que pour tout $n\in\N$, on a $-1\leq u_n \leq 0$.

  \begin{enumerate}
   \item %Pour $n\in\N$, étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire
   Etudier les variations de $(u_n)$.
   
   \begin{corrige}
   Pour $n\in\N$, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ :
   \begin{align*}
   u_{n+1}-u_n &= -\dfrac12 u_n^2 - u_n \\
   &= -u_n\left(\dfrac12 u_n + 1\right).
   \end{align*}
   
   Or, d'après l'énoncé, $-1\leqslant u_n\leqslant 0$, donc :
   \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
   \item $-u_n\geqslant 0$ (car $u_n\leqslant 0$)
   \item $\dfrac12 u_n + 1 \geqslant \dfrac12\times(-1)+1 = \dfrac12 > 0$
   \end{enumerate}
   
   Donc par produit, $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est croissante.
   \end{corrige}
   
   \item Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(u_n)$.
   
   \begin{corrige}
   La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $0$ (car $u_n\leqslant 0$ pour tout $n$).
   
   Donc, par théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\leqslant 0$.
%
%    \medskip
%
%    \textbf{Remarque :} On peut même déterminer cette limite `l'aide deu théorème du point fixe que vous ne connaissez pas encore :  Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=-\dfrac12 x^2$ continue, on a par passage à la limite :
%    \[
%    \ell=-\dfrac12\ell^2 \ssi \dfrac12\ell^2+\ell=0 \ssi \ell\left(\dfrac12\ell+1\right)=0 \ssi \ell=0 \text{ ou } \ell=-2.
%    \]
%    Comme $-1\leqslant u_n\leqslant 0$, on a $\ell\in[-1;0]$, donc $\ell=0$.
   \end{corrige}
  \end{enumerate}
 \end{exercice}


\begin{exercice}[(1 point)]
 L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse. (Vous justifierez votre réponse).

 \bigskip

 La suite définie pour $n\in\N^\star$ par $u_n=\dfrac{\sin n}{n}$ est divergente.
 
 \begin{corrige}
 \textbf{L'affirmation est fausse.}
 
 En effet, pour tout $n\in\N^\star$, on a :
 \[
 -\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{\sin n}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}.
 \]
 Or $\limite{n}{\pI} -\dfrac{1}{n}=0$ et $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n}=0$.
 
 Donc, d'après le théorème des gendarmes :
 \[
 \limite{n}{\pI} \dfrac{\sin n}{n}=0.
 \]
 La suite $(u_n)$ est donc convergente (vers $0$), et non divergente.
 \end{corrige}
\end{exercice}


\begin{exerciced}
 Si dans l'exercice 1, on choisit $u_0=\dfrac32$, que dire alors sur la suite $(u_n)$ ? Un dessin avec la fonction $f$ serait certainement le bienvenu...

 \begin{corrige}

  \textbf{Dessin :}


\begin{center}
\begin{mplibcode}
 u:=3cm;
 repere(-0.2,4 ,1u,-0.2,4,1u);

 % Courbe de f(x) = sqrt(3x-2)
 vardef f(expr x)=sqrt(3*x-2) enddef;
 path Cf;
 Cf = courbefonc(f,0.75,4,150);
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor blue;

 draw axes(1,1);

 % Droite y = x
 draw droite(1,0);

%  % Construction en escalier avec la macro dédiée
 draw Suiterec(f, 0,5,1.5) withcolor red;

 fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

On observe la convergence en escalier vers le point fixe $3$.


 \textbf{Étude du cas $u_0=\dfrac32$ :}

 On a $f(x)=\sqrt{3x-2}$ définie sur $[1;+\infty[$.

 \textbf{Comportement :}
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item Si $u_0=2$, la suite est constante égale à $3$.
 \item Si $u_0>2$, la suite est décroissante et converge vers $3$ (cas de l'exercice 1 avec $u_0=8$).
 \item Si $1<u_0<2$, la suite est croissante et converge vers $3$.
 \item Si $u_0=1$, la suite est constante égale à $1$.
 \item Si $u_0<1$, la suite n'est pas définie car $f$ n'est pas définie pour $x<1$.
 \end{enumerate}

 Ici, $u_0=\dfrac32\in]1;2[$, donc la suite est croissante et converge vers $2$.

 \medskip

 \textbf{Démonstration :} Montrons par récurrence que $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 2$ pour tout $n\in\N$.

 \textbf{Initialisation} ($n=0$) : ok

 \textbf{Hérédité} : Supposons que $u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant 2$. Comme $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, on a :
 \[
 f(u_k)\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(2)
 \]
 soit
 \[
 u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 2.
 \]
 L'hérédité est démontrée.

 \textbf{Conclusion :} $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$, donc elle converge vers $\ell\leqslant 2$. Par passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=2$ (car $\ell\geqslant u_0>1$).

 \medskip


%
 \end{corrige}
\end{exerciced}
\end{document}