\documentclass[10pt]{article}
\input{Preambule-lua.tex}

\usepackage{calligra}
% \usepackage{libertinus}  %% Bien, pour la police texte
%  % \usepackage{stix2}  %  pour la police texte mais j'ai des erreurs
%  \setmathfont{Euler Math} % ou bien \setmathfont{Neo Euler}.
\usepackage[euler-digits,euler-hat-accent]{eulervm}
% \usepackage{tablvar}

\geometry{a4paper,hmargin=1.5cm,vmargin=1cm}

\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 2}  : Suites (1h15)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 4 octobre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}


\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

 \setcounter{exercice}{0}
 

\begin{exercice}[(7 points)]
% inspiré du Bac 2025

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par

\[f(x) = \sqrt{4x - 3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~+\infty[$.

\begin{corrige}
Pour $x\in[1;+\infty[$, on a $4x-3>0$ donc $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$ et :
\[
f'(x)=\dfrac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\dfrac{2}{\sqrt{4x-3}}.
\]
Comme $\sqrt{4x-3}>0$ sur $[1;+\infty[$, on a $f'(x)>0$ sur $[1;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
\end{corrige}

\bigskip

On définit pour tout $n$ entier naturel, la suite $(u_n)$ par $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ et  $u_0=8$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : \[3 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 8\]
		
		\begin{corrige}
		\textbf{Initialisation} ($n=0$) :
		On a $u_0=8$ et $u_1=f(8)=\sqrt{4\times8-3}=\sqrt{29}\approx 5,39$.
		
		Donc $3\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant 8$ : la propriété est vraie au rang $0$.
		
		\textbf{Hérédité} : Soit $k\in\N$. Supposons que $3\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k\leqslant 8$ et montrons que $3\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 8$.
		
		On a :
		\begin{align*}
		 3&\leqslant u_{k+1}\leqslant u_k\leqslant 8 \\
		 \text{donc~~~~~} f(3)&\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(u_k)\leqslant f(8) \text{~~~~~(car $f$ croissante sur $[1;\pI[$)} \\
		 \text{donc~~~~~~~~} 3&\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant \sqrt{29} \\
		 \text{donc~~~~~~~~} 3&\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant 8 \text{~~~~~(car $\sqrt{29}\approx5,39\leqslant8$)}
		\end{align*}
		
		L'hérédité est démontrée.
		
		\textbf{Conclusion} : Par récurrence, pour tout $n\in\N$ : $3\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant 8$.
		\end{corrige}
		
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite notée $\ell$.
		
		\begin{corrige}
		D'après la question précédente, $(u_n)$ est décroissante et minorée par $3$.
		
		Donc, par théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\geqslant 3$.
		\end{corrige}
	\end{enumerate}


\item Démontrer que la limite $\ell$ satisfait l'équation :
\[
\ell^2=4\ell-3
\]

\begin{corrige}
On a pour $n\in\N$ : $u_{n+1}=f(u_n)=\sqrt{4u_n-3}$.

\bigskip

En élevant au carré : $u_{n+1}^2=4u_n-3$.

Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$, on déduit par produit des limites $\limite{n}{\pI}u_{n+1}^2=\ell^2$.

Et d'autre part, par produit et somme : $\limite{n}{\pI}4u_n-3=4\ell-3$.

Ainsi, on a :
\[
\ell^2=4\ell-3.
\]
\end{corrige}


\item En déduire la valeur de $\ell$.

\begin{corrige}
On résout :
\begin{align*}
\ell^2=4\ell-3 &\ssi \ell^2-4\ell+3=0 \\
&\ssi (\ell-1)(\ell-3)=0 \text{~~~~(1 et 3 sont racines évidentes)}\\
&\ssi \ell=1 \text{ ou } \ell=3.
\end{align*}
Comme $\ell\geqslant 3$ (car $(u_n)$ est minorée par $3$), on a $\ell=3$.
\end{corrige}

\item On considère la fonction \texttt{rang} écrite ci-dessous en langage Python.

On rappelle que sqrt($x$) renvoie la racine carrée du nombre $x$.\index{Python}

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{>{\cellcolor{lightgray!50}}c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def rang(a) :\\
4&\quad  u = 8\\
5&\quad n=0\\
6& \quad while u > = a :\\
7&\qquad u = sqrt(4*u - 3)\\
8&\qquad n = n+1\\
9& \quad return n\\
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que \texttt{rang}(3.000001) renvoie une valeur ?
		
		\begin{corrige}
		La suite $(u_n)$ converge vers $3$ en décroissant. Donc pour tout $\varepsilon>0$, il existe un rang $N$ à partir duquel $u_n<3+\varepsilon$.
		
		Ici, $a=3.000001=3+10^{-6}$. Comme $(u_n)$ converge vers $3$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\geqslant N$, $u_n<3.000001$.
		
		Donc la boucle \texttt{while} s'arrête et la fonction renvoie $n$.
		\end{corrige}
		
		\item Pour quelles valeurs du paramètre $a$ l'instruction \texttt{rang}($a$) renvoie-t-elle un résultat ?
		
		\begin{corrige}
		La fonction \texttt{rang(a)} renvoie un résultat si et seulement si on rentre dans la boucle \texttt{while} et qu'elle s'arrête.

		{\bf Pour rentrer : } Il faut $u\geqslant a$ donc $a\leqslant 8$.

		{\bf Pour sortir : } Il faut qu'il existe un rang $n$ tel que $u_n<a$.
		
		Comme $(u_n)$ est décroissante et converge vers $3$ par valeurs supérieures ou égales à $3$, on a $u_n\geqslant 3$ pour tout $n$.
		
		Donc :
		\begin{enumerate}[label=$\bullet$]
		\item Si $a>3$, alors il existe un rang $N$ tel que $u_N<a$ (car $(u_n)$ converge vers $3$). La fonction renvoie une valeur.
		\item Si $a\leqslant 3$, alors $u_n\geqslant 3\geqslant a$ pour tout $n$, donc la boucle ne s'arrête jamais. La fonction ne renvoie pas de résultat (ou boucle indéfiniment).
		\end{enumerate}
		
		\textbf{Conclusion :} \texttt{rang(a)} renvoie un résultat si et seulement si $a\in]3;8]$.
		\end{corrige}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


 \begin{exercice}[(4 points)]
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[
 u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+\dfrac{3}{4}n+1
\]
\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1$.
 
 \begin{corrige}
 \[
 u_1=\dfrac{1}{4}\times3+\dfrac{3}{4}\times0+1=\dfrac34+0+1=\dfrac74.
 \]
 \end{corrige}
 
 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$ :
 \[
  n\leq u_n \leq n+3
 \]
 
 \begin{corrige}
 \textbf{Initialisation} ($n=0$) : $0\leqslant 3\leqslant 3$. La propriété est vraie au rang $0$.
 
 \textbf{Hérédité} : Soit $k\in\N$. Supposons que $k\leqslant u_k\leqslant k+3$ et montrons $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+4$
 
 On a :
 \begin{align*}
 k \leqslant& u_k \leqslant k+3\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} \dfrac14 k \leqslant& \dfrac14 u_k \leqslant \dfrac14(k+3) \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~(par produit par $\dfrac14>0$)}\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~} \dfrac14 k + \dfrac34 k + 1 \leqslant& \dfrac14 u_k + \dfrac34 k + 1 \leqslant \dfrac14(k+3)+\dfrac34 k+1 \text{~~~(par somme de $\dfrac34 k+1$)}\\
%  \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} k+1 \leqslant& u_{k+1} \leqslant k+\dfrac34+1\\
 \text{Donc~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} k+1 \leqslant& u_{k+1} \leqslant k+\dfrac{7}{4}
 \end{align*}
 
 et $k+\dfrac{7}{4}\leqslant k+4$, donc $k+1\leqslant u_{k+1}\leqslant k+3$, ce qui démontre l'hérédité.
 
 \medskip

 \textbf{Conclusion} : Pour tout $n\in\N$, $n\leqslant u_n\leqslant n+3$.
 
 \end{corrige}
 
\item En déduire la limite de $(u_n)$.

\begin{corrige}
On a pour tout $n\in\N$ : $n\leqslant u_n\leqslant n+3$, et $ \limite{n}{\pI} n=+\infty $ donc, par théorème de comparaison, \[\limite{n}{\pI} u_n=+\infty\]
\end{corrige}

\item Déterminer la limite de $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.

\begin{corrige}
En reprenant l'inégalité $n\leqslant u_n\leqslant n+3$ et en divisant par $n>0$ (pour $n\geqslant1$), on a :
\[
1\leqslant \dfrac{u_n}{n}\leqslant 1+\dfrac{3}{n}.
\]
Or $\limite{n}{\pI} 1+\dfrac{3}{n}=1$ donc, d'après le théorème des gendarmes :
\[
\limite{n}{\pI} \dfrac{u_n}{n}=1.
\]
\end{corrige}
\end{enumerate}


 \end{exercice}

 \begin{exercice}[(2 points)]
  Soit $(u_n)$ une suite définie pour $n\in\N$ par $u_{n+1}=\dfrac12 u_n^2$ et $u_0=1$.

  On admettra (simple démonstration par récurrence) que pour tout $n\in\N$, on a $0\leq u_n \leq 2$.

  \begin{enumerate}
   \item %Pour $n\in\N$, étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire
   Etudier les variations de $(u_n)$.
   
   \begin{corrige}
   Pour $n\in\N$, on étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$ :
   \begin{align*}
   u_{n+1}-u_n &= \dfrac12 u_n^2 - u_n \\
   &= u_n\left(\dfrac12 u_n - 1\right).
   \end{align*}
   
   Or, d'après l'énoncé, $0\leqslant u_n\leqslant 2$, donc :
   \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
   \item $u_n\geqslant 0$
   \item $\dfrac12 u_n - 1 \leqslant \dfrac12\times2-1=0$
   \end{enumerate}
   
   Donc par produit, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$, ce qui signifie que la suite $(u_n)$ est décroissante.

   \end{corrige}
   
   \item Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(u_n)$ ?
   
   \begin{corrige}
   La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ (car $u_n\geqslant 0$ pour tout $n$).
   
   Donc, par théorème de convergence monotone, $(u_n)$ converge vers une limite $\ell\geqslant 0$.
   
   \medskip
   
   \textbf{Remarque :} On peut même déterminer cette limite à l'aide du théorème du point fixe (que vous ne connaissez pas encore). Comme $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=\dfrac12 x^2$ qui est une fonction continue, on a par passage à la limite :
   \[
   \ell=\dfrac12\ell^2 \ssi \dfrac12\ell^2-\ell=0 \ssi \ell\left(\dfrac12\ell-1\right)=0 \ssi \ell=0 \text{ ou } \ell=2.
   \]
   Comme $0\leqslant u_n\leqslant 2$ et que $(u_n)$ est décroissante à partir de $u_0=1$, on a $\ell\in[0;1]$, donc $\ell=0$.
   \end{corrige}
  \end{enumerate}
 \end{exercice}


\begin{exercice}[(1 point)]
 L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? (Vous justifierez votre réponse).

 \bigskip

 La suite définie pour $n\in\N^\star$ par $u_n=\dfrac{\cos n}{n}$ est divergente.
 
 \begin{corrige}
 \textbf{L'affirmation est fausse.}
 
 En effet, pour tout $n\in\N^\star$, on a :
 \[
 -\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{\cos n}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}.
 \]
 Or $\limite{n}{\pI} -\dfrac{1}{n}=0$ et $\limite{n}{\pI} \dfrac{1}{n}=0$.
 
 Donc, d'après le théorème des gendarmes :
 \[
 \limite{n}{\pI} \dfrac{\cos n}{n}=0.
 \]
 La suite $(u_n)$ est donc convergente (vers $0$), et non divergente.
 \end{corrige}
\end{exercice}

\begin{exerciced}
 Si dans l'exercice 1, on choisit $u_0=\dfrac32$, que dire alors sur la suite $(u_n)$ ? Un dessin avec la fonction $f$ serait certainement le bienvenu...
 
 \begin{corrige}

  \textbf{Dessin :}


\begin{center}
\begin{mplibcode}
 u:=2cm;
 repere(-0.2,4 ,1u,-0.2,4,1u);

 % Courbe de f(x) = sqrt(4x-3)
 vardef f(expr x)=sqrt(4*x-3) enddef;
 path Cf;
 Cf = courbefonc(f,0.75,4,150);
 draw Cf withpen pencircle scaled 1.2 withcolor blue;

 draw axes(1,1);

 % Droite y = x
 draw droite(1,0);

%  % Construction en escalier avec la macro dédiée
 draw Suiterec(f, 0,5,1.5) withcolor red;

 fin;
\end{mplibcode}
\end{center}

On observe la convergence en escalier vers le point fixe $3$.


 \textbf{Étude du cas $u_0=\dfrac32$ :}

 
 \textbf{Comportement :} 
 \begin{enumerate}[label=$\bullet$]
 \item Si $u_0=3$, la suite est constante égale à $3$.
 \item Si $u_0>3$, la suite est décroissante et converge vers $3$ (cas de l'exercice 1 avec $u_0=8$).
 \item Si $1<u_0<3$, la suite est croissante et converge vers $3$.
 \item Si $u_0=1$, la suite est constante égale à $1$.
 \item Si $u_0<1$, la suite n'est pas définie car $f$ n'est pas définie pour $x<1$.
 \end{enumerate}
 
 Ici, $u_0=\dfrac32\in]1;3[$, donc la suite est croissante et converge vers $3$.
 
 \medskip
 
 \textbf{Démonstration :} Montrons par récurrence que $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 3$ pour tout $n\in\N$.
 
 \textbf{Initialisation} ($n=0$) : $u_0=\dfrac32$ et $u_1=\sqrt{3}\approx1,732$. On a bien $\dfrac32\leqslant\sqrt{3}\leqslant3$.
 
 \textbf{Hérédité} : Supposons que $u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant 3$. Comme $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$, on a :
 \[
 f(u_k)\leqslant f(u_{k+1})\leqslant f(3)
 \]
 soit
 \[
 u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 3.
 \]
 L'hérédité est démontrée.
 
 \textbf{Conclusion :} $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc elle converge vers $\ell\leqslant 3$. Par passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $\ell=3$ (car $\ell\geqslant u_0>1$).
 
 \medskip
 

%
 \end{corrige}
\end{exerciced}
\end{document}