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\setboolean{solution}{true}
% \setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (30 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 15 octobre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice} Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

% \item $3x^5+x^2-3x$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{2x^4+4x^2}{x^3-x^4}$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{-2x-1}{x^2+x-2}$ ; \quad en $-2^+$
\item $\dfrac{-3x-6}{x^2+x-2}$ ; \quad en $-2^-$

\item $\exp(-\frac{2}{x-3}) $ ; \quad en $3^+$


\item $\e^{x}-x^4$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{\e^{\sin x}}{x^2}$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{\e^{x^2}}{x}$ ; \quad en $\pI$


\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item On a pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
 f_1(x)&=\dfrac{2x^4+4x^2}{x^3-x^4}\\
       &=\dfrac{x^4(2+\frac{4}{x^2})}{x^4(\frac{1}{x}-1)}\\
       &=\dfrac{2+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-1}.
 \end{align*}
 Or $\limite{x}{\pI}\left(2+\dfrac{4}{x^2}\right)=2$ et $\limite{x}{\pI}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=-1$.

 Donc par quotient : \[]\limite{x}{\pI}f_1(x)=\dfrac{2}{-1}=-2\].

 \item On a $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ donc

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
 { $x$ / 1, $x^2+x-2$ / 1}
 { $\mI$ , $-2$ ,$1$, $\pI$}
 \tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
 \end{tikzpicture}
 \end{center}



 On a $\limite{x}{-2}(-2x-1)=3$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{-2^+}x^2+x-2=0^-$.

 Alors par quotient : \[]\limite{x}{-2^+}\ds\dfrac{-2x-1}{x^2+x-2}=\mI\].

 \item  \begin{align*}
 f_3(x)&=\dfrac{-3x-6}{x^2+x-2}\\
       &=\dfrac{-3(x+2)}{(x+2)(x-1)}\\
       &=\dfrac{-3}{x-1}.
 \end{align*}
 Donc \[\limite{x}{-2^-}f_3(x)=\dfrac{-3}{-3}=1\]

 \item On a le tableau de signes :

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
 { $x$ / 1, $x-3$ / 1}
 { $\mI$  ,$3$, $\pI$}
 \tkzTabLine{ ,-,z,+, }
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

 alors $\limite{x}{3^+} x-3= 0^+$, donc par produit et quotient : $\limite{x}{3^+}-\dfrac{2}{x-3}=\mI$.

 D'autre part : $\limite{X}{\mI} \e^X= 0^+$,

 alors par composée (avec $X=-\dfrac{2}{x-3}$) : \[ \limite{x}{3^+} f_4(x)=0\]


 \item On a pour $x\in\R$ :
 \[
 f_5(x)=\e^{x}(1-\dfrac{x^4}{\e^x})
 \]
 Par inverse de la croissance comparée, $\limite{x}{\pI}\dfrac{x^4}{\e^x}=0$ donc  $\limite{x}{\pI}(1-\dfrac{x^4}{\e^x})=1$.

 De plus $\limite{x}{\pI}\e^{x}=\pI$.



 Donc par produit : \[\limite{x}{\pI}f_5(x)=\pI\].

 \item Pour tout $x\in\R$, on a $-1\leq \sin x\leq 1$, donc puisque $\exp$ est croissante on a \[\e^{-1}\leq \e^{\sin x}\leq \e^{1}\]

 En divisant par $x^2>0$, il vient :
 \[
 \dfrac{\e^{-1}}{x^2}\leq \dfrac{\e^{\sin x}}{x^2}\leq \dfrac{\e}{x^2}.
 \]
 Or $\limite{x}{\pI}\dfrac{\e^{-1}}{x^2}=0$ et $\limite{x}{\pI}\dfrac{\e}{x^2}=0$.

 Donc par théorème des gendarmes : $\limite{x}{\pI}f_6(x)=0$.

 \item On a pour $x\neq 0$ :
 \[
 f_7(x)=\dfrac{\e^{x^2}}{x}=\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}\times x.
 \]



 $\limite{x}{\pI}x^2=\pI$ et par croissance comparée, $\limite{X}{\pI}\dfrac{\e^{X}}{X}=\pI$, donc par composée (avec $X=x^2$) : $\limite{x}{\pI}\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=\pI$.

 Et comme $\limite{x}{\pI}x=\pI$, par produit :
 \[
 \boxed{\limite{x}{\pI}f_7(x)=\pI}.
 \]

\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{document}