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\setboolean{solution}{true}
\setboolean{solution}{false}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\devpers{{\bf \Large \textcalligra{DS N\up{~~o}{\Huge 3}  : Mini test sur les limites (30 min)}} }{}{\textcalligra{ Spé math (terminale) } }{\large \textcalligra{ 15 octobre 2026}}

% \devpers{ $\pmb{\cald \cals~ \caln^o 1}$ : {\bf \Large \textcalligra{DS 1  : Révisions suites et fonctions}} }{}{T\up{ale} }{7 octobre 2024}

\setlength{\columnseprule}{.5pt}
\setlength{\columnsep}{30pt}

\setcounter{exercice}{0}

\begin{exercice} Déterminer dans chaque cas la limite de $f$ à l'endroit indiqué.
\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[ labelindent=\parindent,%
                 leftmargin=*,%
                 label={$\protect f_{\arabic*}(x) = $}
                 ,itemsep=1cm
                 ]

% \item $3x^5+x^2-3x$ ; \quad en $\mI$


\item $\dfrac{-2x-1}{2x^2-5x+2}$ ; \quad en $2^-$
\item $\dfrac{-3x+6}{2x^2-5x+2}$ ; \quad en $2^-$

\item $\dfrac{2x^5+4x^2}{x^3-x^4}$ ; \quad en $\mI$

\item $\exp(\frac{2}{x-3}) $ ; \quad en $3^-$


\item $\e^{-x}-x^4$ ; \quad en $\mI$

\item $\dfrac{\e^{\cos x+1}}{x^2}$ ; \quad en $\pI$

\item $\dfrac{\e^{x^2}}{x}$ ; \quad en $\pI$


\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
 \item On a $2x^2-5x+2=2(x-2)(x-\frac12)$ donc on a le tableau de signes :

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
 { $x$ / 1, $2x^2-5x+2$ / 1}
 { $\mI$ , $\frac12$ ,$2$, $\pI$}
 \tkzTabLine{ ,+,z,-,z,+, }
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

 On a $\limite{x}{2}(-2x-1)=-5$, et d'après le tableau de signe : $\limite{x}{2^-}2x^2-5x+2=0^-$.

 Alors par quotient : \[\limite{x}{2^-}\ds\dfrac{-2x-1}{2x^2-5x+2}=\pI\].

 \item  On a $2x^2-5x+2=(x-2)(2x-1)$ donc

 \begin{align*}
 f_2(x)&=\dfrac{-3x+6}{2x^2-5x+2}\\
       &=\dfrac{-3(x-2)}{(x-2)(2x-1)}\\
       &=\dfrac{-3}{(2x-1)}
 \end{align*}
donc :
 \[
 \limite{x}{2^-}f_2(x)=\dfrac{-3}{3}=-1.
 \]

 \item On a pour $x\neq 0$ :
 \begin{align*}
 f_3(x)&=\dfrac{2x^5+4x^2}{x^3-x^4}\\
       &=\dfrac{x^5(2+\frac{4}{x^3})}{x^4(\frac{1}{x}-1)}\\
       &=\dfrac{x\left(2+\frac{4}{x^3}\right)}{\frac{1}{x}-1}.
 \end{align*}
 Or $\limite{x}{\mI}\left(2+\dfrac{4}{x^3}\right)=2$ et $\limite{x}{\mI}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=-1$ et $\limite{x}{\mI}x=\mI$.

 \medskip
 Donc par produit et quotient : \[\limite{x}{\mI}f_3(x)=\mI\].

 \item On a le tableau de signes :

 \begin{center}
 \begin{tikzpicture}
 \tkzTabInit[lgt=3,espcl=1.5]
 { $x$ / 1, $x-3$ / 1}
 { $\mI$  ,$3$, $\pI$}
 \tkzTabLine{ ,-,z,+, }
 \end{tikzpicture}
 \end{center}

 alors $\limite{x}{3^-} x-3= 0^-$, donc par quotient : $\limite{x}{3^-}\dfrac{2}{x-3}=\mI$.

 D'autre part : $\limite{X}{\mI} \e^X= \pI$,

 alors par composée (avec $X=\dfrac{2}{x-3}$) : \[ \limite{x}{3^-} f_4(x)=\pI\]

 \item On a pour $x\in\R$ :
 \[
 f_5(x)=\e^{-x}-x^4=\e^{-x}\left(1- {\e^{x}}{x^4}\right)
 \]
 Par croissance comparée, $\limite{x}{\mI} {\e^{x}}{x^4}=0$ donc $\limite{x}{\mI}\left(1- {\e^{x}}{x^4}\right)=1$.

 De plus par inverse $\limite{x}{\mI}\e^{-x}=\pI$.

 Donc par produit : \[\limite{x}{\mI}f_5(x)=\pI\].

 \item Pour tout $x\in\R$, on a $-1\leq \cos x\leq 1$, donc $0\leq \cos x+1\leq 2$, et puisque $\exp$ est croissante on a \[1\leq \e^{\cos x+1}\leq \e^{2}\]

 En divisant par $x^2>0$, il vient :
 \[
 \dfrac{1}{x^2}\leq \dfrac{\e^{\cos x+1}}{x^2}\leq \dfrac{\e^{2}}{x^2}.
 \]
 Or $\limite{x}{\pI}\dfrac{1}{x^2}=0$ et $\limite{x}{\pI}\dfrac{\e^{2}}{x^2}=0$.

 Donc par théorème des gendarmes : $\limite{x}{\pI}f_6(x)=0$.

 \item On a pour $x\neq 0$ :
 \[
 f_7(x)=\dfrac{\e^{x^2}}{x}=\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}\times x.
 \]

 $\limite{x}{\pI}x^2=\pI$ et par croissance comparée, $\limite{X}{\pI}\dfrac{\e^{X}}{X}=\pI$, donc par composée (avec $X=x^2$) : $\limite{x}{\pI}\dfrac{\e^{x^2}}{x^2}=\pI$.

 Et comme $\limite{x}{\pI}x=\pI$, par produit :
 \[
 \boxed{\limite{x}{\pI}f_7(x)=\pI}.
 \]

\end{enumerate}
\end{corrige}

\end{document}