\documentclass[11pt]{article}

  \usepackage{calc,ifthen}

  \usepackage[latin1]{inputenc}
  \usepackage[T1]{fontenc}
  \usepackage{fourier}
%  \usepackage{textcomp}

  \usepackage[a4paper]{geometry}
  \geometry{hmargin=2.5cm,vmargin={0.5cm,1.8cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}

  \usepackage{fancyhdr}

  \usepackage{amsmath}
  \usepackage{amssymb}
  \usepackage{amsfonts}
  \usepackage{amsthm}
  \usepackage{mathrsfs}

 

 
  \usepackage{fancybox}
  \usepackage{color}

  \usepackage{lastpage}

  \usepackage[official,right]{eurosym}
  \usepackage[frenchb]{babel}
  \usepackage{hyperref}

\setlength{\parindent}{0pt}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii.}
\setlength{\fboxsep}{6pt}


\newcounter{exercice}
\newcounter{partie}[exercice]

\newenvironment{exercice}[1][]{%
		     \refstepcounter{exercice}
		     \vspace{0.5em}
		     \par
		     \textbf{\begin{large}Exercice \arabic{exercice}\end{large}\quad\hrulefill\quad #1}\par\medskip\nopagebreak
		     }{\par\vspace{1.5em}}


% \newcommand{\ds}{\displaystyle}
% \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\rule{0.1em}{0ex}}}
% \newcommand{\oij}{\ensuremath{\left(O;\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)}}
% \newcommand{\ouv}{\ensuremath{(O;\vect{u},\vect{v})}}
% \newcommand{\intervalleOO}[2]{\left]#1\,;\,#2\right[}
% \newcommand{\intervalleFO}[2]{\left[#1\,;\,#2\right[}
% \newcommand{\calc}{\mathscr{C}}
% \newcommand{\e}{\mathrm{e}}
% \renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\DeclareMathOperator{\pgcd}{pgcd}
\makeatletter
\renewcommand{\pod}[1]{\allowbreak
  \if@display\mkern18mu\else\mkern8mu\fi[#1]}
\makeatother

\pagestyle{fancy}%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%
\cfoot{}%
\rfoot{\textit{Spécialité -- \thepage/\pageref{LastPage}}}%

\begin{document}
 \abovedisplayskip=0.5ex
 \belowdisplayskip=0.5ex

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\centering
\begin{LARGE}
\textbf{Devoir surveillé de mathématiques}
\end{LARGE}

\medskip
\begin{Large}
\textbf{Terminales S -- Spécialité}
\end{Large}

\medskip
\textbf{Mercredi 21 janvier 2009}

\textbf{Durée : 1 heure}
 
\end{minipage}}
\end{center}

\vspace{\baselineskip}
{\itshape L'usage d'une calculatrice est autorisé.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\vspace{\baselineskip}

\begin{exercice} %[ points]
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier.
\item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier.
\item En déduire que $6^{40} \equiv 1\pod{11}$ et que $6^{40} \equiv 1\pod{5}$.
\item Démontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation
\[  (E) \;:\; 65x - 40y = 1\]
n'a pas de solution.
\item Montrer que l'équation
\[  (E') \;:\; 17x - 40y = 1\]
admet au moins une  solution.
\item Déterminer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide, un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $(E')$.
\item Résoudre l'équation $(E')$.\par
En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à $40$ tel que : \[17x_{0}\equiv 1 \pod{40}\]
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $a$, démontrer que :
\[\text{Si}\quad
\left\{
\begin{aligned}
 a^{17} \equiv b \pod{55}\\
 a^{40} \equiv 1 \pod{55}
\end{aligned}\right.
\qquad \text{alors}\quad b^{33} \equiv a \pod{55}\]
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}
Résoudre dans $\N^2$ le système ci-dessous :
\[(S)\; : \;
 \begin{cases}
  a-b=300 \\
a<600\\
\pgcd(a;b)=30
 \end{cases}
\]
\end{exercice}

\end{document}