\documentclass[11pt,twoside]{article}
\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...


%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

% Pour insérer des graphiques
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eurosym}

\usepackage{lfba}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{twoside,hmargin=2cm,vmargin={0cm,1.8cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]

\newcommand{\exo}[1]{\addtocounter{exercice}{1}\subsection*{Exercice
    \arabic{exercice} : (#1 points)}}
\newcommand{\finexo}



\pagestyle{empty}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Spécialité Mathématiques $N^o$ 5 (1 heure)}{}{Classe de
TS}{1 avril 2009}
%\danger {\it Le bar\^eme est approximatif et la calculatrice est autorisée.}
%\vspace{-1cm}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}. 
%\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice 1}
% morceau de asie juin 2007

OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item  On note encore $s$ est la similitude directe telle que $s$(O) = A et $s$(B) = O. Soit $\Omega$ son centre.
\begin{enumerate}
\item Justifier le fait que l'angle de $s$ est \'egal \`a $\dfrac{\pi}{2}$.
\item D\'emontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diam\`etre [OA]. (On admet de m\^eme que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diam\`etre [OB].)\\
	En d\'eduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.
\end{enumerate}
\item  On d\'esigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).\\
	On note A$'$ et B$'$ les projet\'es othogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer les images des droites (BB$'$) et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$.
\item   D\'eterminer le point $s$(B$'$).
\item   En d\'eduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diam\`etre [A$'$B$'$]
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 2}

Dans le plan complexe rapport\'e \`a  un rep\`ere orthonorm\'e
\ouv, d'unit\'e graphique 1 cm, on consid\`ere 
les points A$_0$, A$_1$, A$_2$ d'affixes respectives $z_0 = 5 - 4\text{i},~ z_1 = 
- 1- 4\text{i},~ z_2 = - 4 - \text{i}$.

\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}\item Justifier l'existence d'une unique similitude directe 
$S$ telle que $S(\text{A}_0)~=~\text{A}_1$ et $S (\text{A}_1) = \text{A}_2$.

\item Etablir que l'\'ecriture complexe de $S$ est $z'= 
\cfrac{1-\text{i}}{2}z + \cfrac{- 3 + \text{i}}{2}$.

\item En d\'eduire le rapport, l'angle et l'affixe $\omega$ du centre 
$\Omega$ de la similitude $S$.

\item On consid\`ere un point $M$, d'affixe $z$ avec $z \neq 0$, et son image 
$M'$, d'affixe $z'$.

V\'erifier la relation : $\omega - z'= \text{i}(z - z')$ ; en d\'eduire la nature 
du triangle $\Omega MM'$.

\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, le point A$_{n+1}$, est 
d\'efini par A$_{n+1} = S(\text{A}_n)$ et on pose $u_n = 
\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.

\begin{enumerate}\item Placer les points A$_0$,~ A$_1$, A$_2$ et construire g\'eom\'etriquement 
les points A$_3$,~ A$_4$,~ A$_5$,~ A$_6$.

\item D\'emontrer que la suite $(u_n)$ est g\'eom\'etrique.

\end{enumerate}

\item La suite $(v_n)$ est d\'efinie sur $\N$ par $v_n = u_0 + 
u_1 + \cdots + u_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k$.

\begin{enumerate}\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item La suite $(v_n)$ est-elle convergente ?

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Calculer en fonction de $n$ le rayon $r_n$ du cercle 
circonscrit au triangle $\Omega\text{A}_n\text{A}_{n+1}$.

\item  D\'eterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que, pour tout entier 
naturel $n$ :

 si $n > p$ alors $r_n < 10^{-2}$.
 
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document} 
