\documentclass[10pt,twoside]{article}
\usepackage[latin1,utf8]{inputenc}
\usepackage[active]{srcltx} %Pour faire le lien entre dvi et l'editeur
\usepackage[draft=false]{hyperref} % Suivre les hyperliens dans le dvi
%\usepackage{color} % gestion des couleurs
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%\usepackage{epsfig}  % pour inclure des figures
%\usepackage{picins}   % pour utiliser \parpic et inserer des figures 
%\usepackage{fancybox}  % pour faire des boite joili, ombree etc... shadowbox
\usepackage{amsmath}    % Police de maths
\usepackage{amssymb}    % Police de maths
\usepackage{amsfonts}   %gestion des fontes mathematiques
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathrsfs}   % Police de maths joli caligraphie :
			    % $\mathscr{P}$ pour un plan par exemple
\usepackage{multicol}           % Gestion des colonnes dans le texte
\setlength{\multicolsep}{3pt}   % Espace avant et après
                                % qui est à 12pt par défaut
                                % faire \begin{multicols}{2} par
                                % exemple
\usepackage{manfnt}   % pour utiliser des symboles comme danger etc ...


%\usepackage{yhmath} % pour faire le symbole arc
%attention, ce package fait des problemes avec les accolades des
%systemes.
%\usepackage{arcs}

\usepackage[greek,francais]{babel}   % un package de francisation

% Pour l'utilisation du package xypic pour certains tableaux de
% variations (tjrs apres les options de langue) 
% attention faire preceder tout usage de xypic de \shorthandoff{;:!?}
% voir la page http://zoonek2.free.fr/UNIX/11_xypic/
% \usepackage[all]{xy}

% Pour utiliser pstricks :
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}

% Pour insérer des graphiques
\usepackage{graphicx}
\usepackage{eurosym}

\usepackage{lfba}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\geometry{twoside,hmargin=1.5cm,vmargin={0cm,1.8cm},headheight=15pt,headsep=0.5cm,includehead,includefoot}
\reversemarginpar  % pour faire apparaitre le symbole danger à gauche
%\marginpar[\lhdbend]



\pagestyle{empty}



\begin{document}
\devpers{Devoir  de Spécialité Mathématiques $N^o$ 1 (40 minutes)}{}{Classe de
TS}{15 octobre 2008}
%\danger {\it La calculatrice n'est pas autorisée pour aujourd'hui.}
%\vspace{-1cm}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}. 
%\begin{multicols}{2}

\section*{Exercice 1 :}
Soit $N$ un entier naturel, impair non premier.

\noindent On suppose que $N =  a^2 - b^2$ où $a$ et $b$ sont deux entiers naturels.

\begin{enumerate}\item Montrer que $a$ et $b$ n'ont pas la m\^eme parit\'e. 

\item Montrer que $N$ peut s'\'ecrire comme produit de deux entiers naturels $p$ et $q$.

\item Quelle est la parit\'e de $p$ et de $q$ ?

\end{enumerate}
\vspace{.5cm}
\hrule

\section*{Exercice 2 :}
\begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier 
naturel $x$ :

\[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\]


\item  On consid\`ere un nombre entier $a$ sup\'erieur 
ou \'egal \`a 2. Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n~ :~ n = dk$.


\begin{enumerate} \item Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$.

\item D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $2^{2004} - 1$ est divisible par 7 et 63.
 
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{.5cm}
\hrule

\section*{Exercice 3 :}

\begin{enumerate} \item
Soit $x$ un nombre r\'eel.

\begin{enumerate} \item Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$.

\item En d\'eduire que $x^4  + 4$  peut s'\'ecrire comme 
produit de deux trin\^omes \`a coefficients r\'eels.

\end{enumerate}


\item Soit $n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 2.

On consid\`ere les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$.

\begin{enumerate} \item Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier.

\item Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, 
divise 2.

\item Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, 
divise $4n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{.5cm}
\hrule



\section*{Exercice 4 :}
Pour quelle valeur de l'entier naturel $n$ le nombre $A=n^2-5n+3$
est-il divisible par $B=n+2$.
\vspace{.5cm}
\hrule

\section*{Exercice 5 :} 
\begin{enumerate} 
\item Dresser la liste des entiers naturels diviseurs de 246.
\item Le reste de la division euclidienne de 321 par
le naturel $b$ est 75. Déterminer les valeurs possibles de $b$ et du quotient.
\end{enumerate}
\vspace{.5cm}
\hrule




\section*{Exercice 6 :} 
La somme  de deux entiers naturels est 2096. Si l'on divise l'un par
l'autre, le quotient est 5 et le reste 206. Quels sont ces nombres ?

\end{document} 
